Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56147 / 44522
↖ ↑ ↗
← N 49.876938°
W 25.787659°		 ← 196.83 m → N 49.876938°
W 25.784912°		 →
↑
196.86 m
↓
↑
196.86 m
↓
N 49.875168°
W 25.787659°		 ← 196.83 m →
38 749 m²		 N 49.875168°
W 25.784912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428371429443359 y=0.339679718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428371429443359 × 217)
    floor (0.428371429443359 × 131072)
    floor (56147.5)     		tx = 56147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339679718017578 × 217)
    floor (0.339679718017578 × 131072)
    floor (44522.5)     		ty = 44522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56147 / 44522 ti = "17/56147/44522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56147/44522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56147 ÷ 217
    56147 ÷ 131072     		x = 0.428367614746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44522 ÷ 217
    44522 ÷ 131072     		y = 0.339675903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428367614746094 × 2 - 1) × π
    -0.143264770507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.45007955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339675903320312 × 2 - 1) × π
    0.320648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00734600861586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45007955} λ = -0.45007955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00734600861586))-π/2
    2×atan(2.73832387458426)-π/2
    2×1.22065655610571-π/2
    2.44131311221142-1.57079632675     		φ = 0.87051679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45007955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.787659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87051679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.876938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56147 KachelY 44522 -0.45007955 0.87051679 -25.787659 49.876938
    Oben rechts KachelX + 1 56148 KachelY 44522 -0.45003161 0.87051679 -25.784912 49.876938
    Unten links KachelX 56147 KachelY + 1 44523 -0.45007955 0.87048589 -25.787659 49.875168
    Unten rechts KachelX + 1 56148 KachelY + 1 44523 -0.45003161 0.87048589 -25.784912 49.875168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87051679-0.87048589) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dl = 196.863900000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87051679-0.87048589) × R
    3.09000000000559e-05 × 6371000     		dr = 196.863900000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45007955--0.45003161) × cos(0.87051679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644431463598693 × 6371000     		do = 196.825956648785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45007955--0.45003161) × cos(0.87048589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644455091349147 × 6371000     		du = 196.833173171952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87051679)-sin(0.87048589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644431463598693-0.644455091349147)×R²
    abs(-0.45003161--0.45007955)×2.36277504546134e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36277504546134e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36277504546134e-05×40589641000000     		ar = 38748.6357867328m²