Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56146 / 44366
↖ ↑ ↗
← N 50.152266°
W 25.790405°		 ← 195.70 m → N 50.152266°
W 25.787659°		 →
↑
195.65 m
↓
↑
195.65 m
↓
N 50.150507°
W 25.790405°		 ← 195.71 m →
38 290 m²		 N 50.150507°
W 25.787659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428363800048828 y=0.338489532470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428363800048828 × 217)
    floor (0.428363800048828 × 131072)
    floor (56146.5)     		tx = 56146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338489532470703 × 217)
    floor (0.338489532470703 × 131072)
    floor (44366.5)     		ty = 44366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56146 / 44366 ti = "17/56146/44366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56146/44366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56146 ÷ 217
    56146 ÷ 131072     		x = 0.428359985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44366 ÷ 217
    44366 ÷ 131072     		y = 0.338485717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428359985351562 × 2 - 1) × π
    -0.143280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45012749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338485717773438 × 2 - 1) × π
    0.323028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01482416495659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45012749} λ = -0.45012749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01482416495659))-π/2
    2×atan(2.75887824724796)-π/2
    2×1.22305925028472-π/2
    2.44611850056943-1.57079632675     		φ = 0.87532217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45012749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.790405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87532217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.152266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56146 KachelY 44366 -0.45012749 0.87532217 -25.790405 50.152266
    Oben rechts KachelX + 1 56147 KachelY 44366 -0.45007955 0.87532217 -25.787659 50.152266
    Unten links KachelX 56146 KachelY + 1 44367 -0.45012749 0.87529146 -25.790405 50.150507
    Unten rechts KachelX + 1 56147 KachelY + 1 44367 -0.45007955 0.87529146 -25.787659 50.150507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87532217-0.87529146) × R
    3.07099999999894e-05 × 6371000     		dl = 195.653409999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87532217-0.87529146) × R
    3.07099999999894e-05 × 6371000     		dr = 195.653409999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45012749--0.45007955) × cos(0.87532217) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640749545411831 × 6371000     		do = 195.70140406217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45012749--0.45007955) × cos(0.87529146) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640773122711332 × 6371000     		du = 195.708605176318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87532217)-sin(0.87529146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640749545411831-0.640773122711332)×R²
    abs(-0.45007955--0.45012749)×2.35772995006434e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35772995006434e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35772995006434e-05×40589641000000     		ar = 38290.3515109891m²