Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56145 / 44335
↖ ↑ ↗
← N 50.206791°
W 25.793152°		 ← 195.44 m → N 50.206791°
W 25.790405°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
N 50.205033°
W 25.793152°		 ← 195.44 m →
38 201 m²		 N 50.205033°
W 25.790405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428356170654297 y=0.338253021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428356170654297 × 217)
    floor (0.428356170654297 × 131072)
    floor (56145.5)     		tx = 56145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338253021240234 × 217)
    floor (0.338253021240234 × 131072)
    floor (44335.5)     		ty = 44335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56145 / 44335 ti = "17/56145/44335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56145/44335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56145 ÷ 217
    56145 ÷ 131072     		x = 0.428352355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44335 ÷ 217
    44335 ÷ 131072     		y = 0.338249206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428352355957031 × 2 - 1) × π
    -0.143295288085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.45017542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338249206542969 × 2 - 1) × π
    0.323501586914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.01631020884481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45017542} λ = -0.45017542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01631020884481))-π/2
    2×atan(2.76298110916704)-π/2
    2×1.22353506969839-π/2
    2.44707013939678-1.57079632675     		φ = 0.87627381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45017542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.793152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87627381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.206791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56145 KachelY 44335 -0.45017542 0.87627381 -25.793152 50.206791
    Oben rechts KachelX + 1 56146 KachelY 44335 -0.45012749 0.87627381 -25.790405 50.206791
    Unten links KachelX 56145 KachelY + 1 44336 -0.45017542 0.87624313 -25.793152 50.205033
    Unten rechts KachelX + 1 56146 KachelY + 1 44336 -0.45012749 0.87624313 -25.790405 50.205033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87627381-0.87624313) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dl = 195.462280000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87627381-0.87624313) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dr = 195.462280000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45017542--0.45012749) × cos(0.87627381) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.640018633801055 × 6371000     		do = 195.43738925521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45017542--0.45012749) × cos(0.87624313) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.640042206765847 × 6371000     		du = 195.444587543592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87627381)-sin(0.87624313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640018633801055-0.640042206765847)×R²
    abs(-0.45012749--0.45017542)×2.35729647926064e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35729647926064e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35729647926064e-05×40589641000000     		ar = 38201.3412011582m²