Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56143 / 29615
↖ ↑ ↗
← N 69.734286°
W 25.798645°		 ← 105.79 m → N 69.734286°
W 25.795898°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
N 69.733334°
W 25.798645°		 ← 105.80 m →
11 195 m²		 N 69.733334°
W 25.795898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428340911865234 y=0.225948333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428340911865234 × 217)
    floor (0.428340911865234 × 131072)
    floor (56143.5)     		tx = 56143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225948333740234 × 217)
    floor (0.225948333740234 × 131072)
    floor (29615.5)     		ty = 29615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56143 / 29615 ti = "17/56143/29615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56143/29615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56143 ÷ 217
    56143 ÷ 131072     		x = 0.428337097167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29615 ÷ 217
    29615 ÷ 131072     		y = 0.225944519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428337097167969 × 2 - 1) × π
    -0.143325805664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.45027130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225944519042969 × 2 - 1) × π
    0.548110961914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.72194137125204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45027130} λ = -0.45027130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72194137125204))-π/2
    2×atan(5.59538063793335)-π/2
    2×1.39394460738477-π/2
    2.78788921476955-1.57079632675     		φ = 1.21709289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45027130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.798645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21709289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.734286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56143 KachelY 29615 -0.45027130 1.21709289 -25.798645 69.734286
    Oben rechts KachelX + 1 56144 KachelY 29615 -0.45022336 1.21709289 -25.795898 69.734286
    Unten links KachelX 56143 KachelY + 1 29616 -0.45027130 1.21707628 -25.798645 69.733334
    Unten rechts KachelX + 1 56144 KachelY + 1 29616 -0.45022336 1.21707628 -25.795898 69.733334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21709289-1.21707628) × R
    1.66100000000835e-05 × 6371000     		dl = 105.822310000532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21709289-1.21707628) × R
    1.66100000000835e-05 × 6371000     		dr = 105.822310000532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45027130--0.45022336) × cos(1.21709289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346374355476711 × 6371000     		do = 105.791643838428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45027130--0.45022336) × cos(1.21707628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346389937209692 × 6371000     		du = 105.796402900754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21709289)-sin(1.21707628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346374355476711-0.346389937209692)×R²
    abs(-0.45022336--0.45027130)×1.55817329812735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55817329812735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55817329812735e-05×40589641000000     		ar = 11195.3679374424m²