Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56141 / 43217
↖ ↑ ↗
← N 52.131802°
W 25.804138°		 ← 187.45 m → N 52.131802°
W 25.801392°		 →
↑
187.43 m
↓
↑
187.43 m
↓
N 52.130116°
W 25.804138°		 ← 187.45 m →
35 134 m²		 N 52.130116°
W 25.801392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428325653076172 y=0.329723358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428325653076172 × 217)
    floor (0.428325653076172 × 131072)
    floor (56141.5)     		tx = 56141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329723358154297 × 217)
    floor (0.329723358154297 × 131072)
    floor (43217.5)     		ty = 43217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56141 / 43217 ti = "17/56141/43217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56141/43217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56141 ÷ 217
    56141 ÷ 131072     		x = 0.428321838378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43217 ÷ 217
    43217 ÷ 131072     		y = 0.329719543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428321838378906 × 2 - 1) × π
    -0.143356323242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.45036717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329719543457031 × 2 - 1) × π
    0.340560913085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.06990366262003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45036717} λ = -0.45036717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06990366262003))-π/2
    2×atan(2.91509865348259)-π/2
    2×1.24033395913276-π/2
    2.48066791826551-1.57079632675     		φ = 0.90987159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45036717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.804138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90987159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.131802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56141 KachelY 43217 -0.45036717 0.90987159 -25.804138 52.131802
    Oben rechts KachelX + 1 56142 KachelY 43217 -0.45031924 0.90987159 -25.801392 52.131802
    Unten links KachelX 56141 KachelY + 1 43218 -0.45036717 0.90984217 -25.804138 52.130116
    Unten rechts KachelX + 1 56142 KachelY + 1 43218 -0.45031924 0.90984217 -25.801392 52.130116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90987159-0.90984217) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dl = 187.434819999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90987159-0.90984217) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dr = 187.434819999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45036717--0.45031924) × cos(0.90987159) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.61384712460368 × 6371000     		do = 187.44560407854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45036717--0.45031924) × cos(0.90984217) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.613870349219231 × 6371000     		du = 187.452695994291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90987159)-sin(0.90984217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61384712460368-0.613870349219231)×R²
    abs(-0.45031924--0.45036717)×2.32246155509319e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32246155509319e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32246155509319e-05×40589641000000     		ar = 35134.497698749m²