Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56140 / 43244
↖ ↑ ↗
← N 52.086258°
W 25.806885°		 ← 187.68 m → N 52.086258°
W 25.804138°		 →
↑
187.69 m
↓
↑
187.69 m
↓
N 52.084570°
W 25.806885°		 ← 187.68 m →
35 226 m²		 N 52.084570°
W 25.804138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428318023681641 y=0.329929351806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428318023681641 × 217)
    floor (0.428318023681641 × 131072)
    floor (56140.5)     		tx = 56140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329929351806641 × 217)
    floor (0.329929351806641 × 131072)
    floor (43244.5)     		ty = 43244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56140 / 43244 ti = "17/56140/43244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56140/43244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56140 ÷ 217
    56140 ÷ 131072     		x = 0.428314208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43244 ÷ 217
    43244 ÷ 131072     		y = 0.329925537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428314208984375 × 2 - 1) × π
    -0.14337158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45041511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329925537109375 × 2 - 1) × π
    0.34014892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06860936633029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45041511} λ = -0.45041511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06860936633029))-π/2
    2×atan(2.91132809274891)-π/2
    2×1.23993650613324-π/2
    2.47987301226647-1.57079632675     		φ = 0.90907669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45041511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.806885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90907669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.086258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56140 KachelY 43244 -0.45041511 0.90907669 -25.806885 52.086258
    Oben rechts KachelX + 1 56141 KachelY 43244 -0.45036717 0.90907669 -25.804138 52.086258
    Unten links KachelX 56140 KachelY + 1 43245 -0.45041511 0.90904723 -25.806885 52.084570
    Unten rechts KachelX + 1 56141 KachelY + 1 43245 -0.45036717 0.90904723 -25.804138 52.084570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90907669-0.90904723) × R
    2.94600000000367e-05 × 6371000     		dl = 187.689660000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90907669-0.90904723) × R
    2.94600000000367e-05 × 6371000     		dr = 187.689660000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45041511--0.45036717) × cos(0.90907669) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614474444473609 × 6371000     		do = 187.676311914535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45041511--0.45036717) × cos(0.90904723) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.614497686282894 × 6371000     		du = 187.683410561335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90907669)-sin(0.90904723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614474444473609-0.614497686282894)×R²
    abs(-0.45036717--0.45041511)×2.32418092858122e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32418092858122e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32418092858122e-05×40589641000000     		ar = 35225.5693470916m²