Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56139 / 44371
↖ ↑ ↗
← N 50.143466°
W 25.809632°		 ← 195.74 m → N 50.143466°
W 25.806885°		 →
↑
195.72 m
↓
↑
195.72 m
↓
N 50.141706°
W 25.809632°		 ← 195.74 m →
38 310 m²		 N 50.141706°
W 25.806885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428310394287109 y=0.338527679443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428310394287109 × 217)
    floor (0.428310394287109 × 131072)
    floor (56139.5)     		tx = 56139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338527679443359 × 217)
    floor (0.338527679443359 × 131072)
    floor (44371.5)     		ty = 44371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56139 / 44371 ti = "17/56139/44371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56139/44371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56139 ÷ 217
    56139 ÷ 131072     		x = 0.428306579589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44371 ÷ 217
    44371 ÷ 131072     		y = 0.338523864746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428306579589844 × 2 - 1) × π
    -0.143386840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.45046305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338523864746094 × 2 - 1) × π
    0.322952270507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.01458448045849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45046305} λ = -0.45046305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01458448045849))-π/2
    2×atan(2.75821706614055)-π/2
    2×1.22298245435307-π/2
    2.44596490870615-1.57079632675     		φ = 0.87516858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45046305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.809632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87516858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.143466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56139 KachelY 44371 -0.45046305 0.87516858 -25.809632 50.143466
    Oben rechts KachelX + 1 56140 KachelY 44371 -0.45041511 0.87516858 -25.806885 50.143466
    Unten links KachelX 56139 KachelY + 1 44372 -0.45046305 0.87513786 -25.809632 50.141706
    Unten rechts KachelX + 1 56140 KachelY + 1 44372 -0.45041511 0.87513786 -25.806885 50.141706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87516858-0.87513786) × R
    3.07199999999286e-05 × 6371000     		dl = 195.717119999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87516858-0.87513786) × R
    3.07199999999286e-05 × 6371000     		dr = 195.717119999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45046305--0.45041511) × cos(0.87516858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.640867456572017 × 6371000     		do = 195.737417165298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45046305--0.45041511) × cos(0.87513786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.640891038525248 × 6371000     		du = 195.744619700814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87516858)-sin(0.87513786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640867456572017-0.640891038525248)×R²
    abs(-0.45041511--0.45046305)×2.35819532308224e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35819532308224e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35819532308224e-05×40589641000000     		ar = 38309.8683965621m²