Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56137 / 29418
↖ ↑ ↗
← N 69.920873°
W 25.815125°		 ← 104.86 m → N 69.920873°
W 25.812378°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
N 69.919930°
W 25.815125°		 ← 104.86 m →
10 996 m²		 N 69.919930°
W 25.812378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428295135498047 y=0.224445343017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428295135498047 × 217)
    floor (0.428295135498047 × 131072)
    floor (56137.5)     		tx = 56137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224445343017578 × 217)
    floor (0.224445343017578 × 131072)
    floor (29418.5)     		ty = 29418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56137 / 29418 ti = "17/56137/29418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56137/29418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56137 ÷ 217
    56137 ÷ 131072     		x = 0.428291320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29418 ÷ 217
    29418 ÷ 131072     		y = 0.224441528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428291320800781 × 2 - 1) × π
    -0.143417358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45055892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224441528320312 × 2 - 1) × π
    0.551116943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73138494047719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45055892} λ = -0.45055892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73138494047719))-π/2
    2×atan(5.64847129039875)-π/2
    2×1.3955728865048-π/2
    2.7911457730096-1.57079632675     		φ = 1.22034945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45055892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.815125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22034945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.920873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56137 KachelY 29418 -0.45055892 1.22034945 -25.815125 69.920873
    Oben rechts KachelX + 1 56138 KachelY 29418 -0.45051098 1.22034945 -25.812378 69.920873
    Unten links KachelX 56137 KachelY + 1 29419 -0.45055892 1.22033299 -25.815125 69.919930
    Unten rechts KachelX + 1 56138 KachelY + 1 29419 -0.45051098 1.22033299 -25.812378 69.919930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22034945-1.22033299) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dl = 104.866660000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22034945-1.22033299) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dr = 104.866660000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45055892--0.45051098) × cos(1.22034945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343317557070458 × 6371000     		do = 104.858018923168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45055892--0.45051098) × cos(1.22033299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343333016575043 × 6371000     		du = 104.862740653796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22034945)-sin(1.22033299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343317557070458-0.343333016575043)×R²
    abs(-0.45051098--0.45055892)×1.54595045849248e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54595045849248e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54595045849248e-05×40589641000000     		ar = 10996.3577950185m²