Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56135 / 29383
↖ ↑ ↗
← N 69.953850°
W 25.820617°		 ← 104.67 m → N 69.953850°
W 25.817871°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
N 69.952909°
W 25.820617°		 ← 104.68 m →
10 957 m²		 N 69.952909°
W 25.817871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428279876708984 y=0.224178314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428279876708984 × 217)
    floor (0.428279876708984 × 131072)
    floor (56135.5)     		tx = 56135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224178314208984 × 217)
    floor (0.224178314208984 × 131072)
    floor (29383.5)     		ty = 29383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56135 / 29383 ti = "17/56135/29383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56135/29383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56135 ÷ 217
    56135 ÷ 131072     		x = 0.428276062011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29383 ÷ 217
    29383 ÷ 131072     		y = 0.224174499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428276062011719 × 2 - 1) × π
    -0.143447875976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.45065479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224174499511719 × 2 - 1) × π
    0.551651000976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.73306273196389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45065479} λ = -0.45065479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73306273196389))-π/2
    2×atan(5.6579562020697)-π/2
    2×1.395860667325-π/2
    2.79172133465-1.57079632675     		φ = 1.22092501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45065479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.820617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22092501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.953850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56135 KachelY 29383 -0.45065479 1.22092501 -25.820617 69.953850
    Oben rechts KachelX + 1 56136 KachelY 29383 -0.45060686 1.22092501 -25.817871 69.953850
    Unten links KachelX 56135 KachelY + 1 29384 -0.45065479 1.22090858 -25.820617 69.952909
    Unten rechts KachelX + 1 56136 KachelY + 1 29384 -0.45060686 1.22090858 -25.817871 69.952909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22092501-1.22090858) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22092501-1.22090858) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45065479--0.45060686) × cos(1.22092501) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342776923125224 × 6371000     		do = 104.671057082736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45065479--0.45060686) × cos(1.22090858) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342792357697479 × 6371000     		du = 104.675770215052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22092501)-sin(1.22090858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342776923125224-0.342792357697479)×R²
    abs(-0.45060686--0.45065479)×1.54345722550575e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54345722550575e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54345722550575e-05×40589641000000     		ar = 10956.7450509991m²