Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56134 / 29382
↖ ↑ ↗
← N 69.954792°
W 25.823364°		 ← 104.69 m → N 69.954792°
W 25.820617°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
N 69.953850°
W 25.823364°		 ← 104.69 m →
10 959 m²		 N 69.953850°
W 25.820617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428272247314453 y=0.224170684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428272247314453 × 217)
    floor (0.428272247314453 × 131072)
    floor (56134.5)     		tx = 56134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224170684814453 × 217)
    floor (0.224170684814453 × 131072)
    floor (29382.5)     		ty = 29382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56134 / 29382 ti = "17/56134/29382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56134/29382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56134 ÷ 217
    56134 ÷ 131072     		x = 0.428268432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29382 ÷ 217
    29382 ÷ 131072     		y = 0.224166870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428268432617188 × 2 - 1) × π
    -0.143463134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45070273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224166870117188 × 2 - 1) × π
    0.551666259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73311066886351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45070273} λ = -0.45070273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73311066886351))-π/2
    2×atan(5.65822743344916)-π/2
    2×1.39586888297154-π/2
    2.79173776594308-1.57079632675     		φ = 1.22094144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45070273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.823364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22094144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.954792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56134 KachelY 29382 -0.45070273 1.22094144 -25.823364 69.954792
    Oben rechts KachelX + 1 56135 KachelY 29382 -0.45065479 1.22094144 -25.820617 69.954792
    Unten links KachelX 56134 KachelY + 1 29383 -0.45070273 1.22092501 -25.823364 69.953850
    Unten rechts KachelX + 1 56135 KachelY + 1 29383 -0.45065479 1.22092501 -25.820617 69.953850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22094144-1.22092501) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22094144-1.22092501) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45070273--0.45065479) × cos(1.22094144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342761488460438 × 6371000     		do = 104.688181256462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45070273--0.45065479) × cos(1.22092501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342776923125224 × 6371000     		du = 104.692895400376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22094144)-sin(1.22092501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342761488460438-0.342776923125224)×R²
    abs(-0.45065479--0.45070273)×1.54346647859849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54346647859849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54346647859849e-05×40589641000000     		ar = 10958.5375858408m²