Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56133 / 44525
↖ ↑ ↗
← N 49.871627°
W 25.826111°		 ← 196.85 m → N 49.871627°
W 25.823364°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
N 49.869857°
W 25.826111°		 ← 196.85 m →
38 740 m²		 N 49.869857°
W 25.823364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428264617919922 y=0.339702606201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428264617919922 × 217)
    floor (0.428264617919922 × 131072)
    floor (56133.5)     		tx = 56133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339702606201172 × 217)
    floor (0.339702606201172 × 131072)
    floor (44525.5)     		ty = 44525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56133 / 44525 ti = "17/56133/44525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56133/44525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56133 ÷ 217
    56133 ÷ 131072     		x = 0.428260803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44525 ÷ 217
    44525 ÷ 131072     		y = 0.339698791503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428260803222656 × 2 - 1) × π
    -0.143478393554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.45075067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339698791503906 × 2 - 1) × π
    0.320602416992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.007202197917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45075067} λ = -0.45075067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.007202197917))-π/2
    2×atan(2.73793010262914)-π/2
    2×1.22061021548804-π/2
    2.44122043097607-1.57079632675     		φ = 0.87042410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45075067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.826111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87042410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.871627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56133 KachelY 44525 -0.45075067 0.87042410 -25.826111 49.871627
    Oben rechts KachelX + 1 56134 KachelY 44525 -0.45070273 0.87042410 -25.823364 49.871627
    Unten links KachelX 56133 KachelY + 1 44526 -0.45075067 0.87039321 -25.826111 49.869857
    Unten rechts KachelX + 1 56134 KachelY + 1 44526 -0.45070273 0.87039321 -25.823364 49.869857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87042410-0.87039321) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87042410-0.87039321) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45075067--0.45070273) × cos(0.87042410) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644502337358014 × 6371000     		do = 196.8476033194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45075067--0.45070273) × cos(0.87039321) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644525955616779 × 6371000     		du = 196.854816943561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87042410)-sin(0.87039321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644502337358014-0.644525955616779)×R²
    abs(-0.45070273--0.45075067)×2.361825876529e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.361825876529e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.361825876529e-05×40589641000000     		ar = 38740.3555586599m²