Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56130 / 29376
↖ ↑ ↗
← N 69.960439°
W 25.834351°		 ← 104.66 m → N 69.960439°
W 25.831604°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
N 69.959498°
W 25.834351°		 ← 104.66 m →
10 956 m²		 N 69.959498°
W 25.831604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428241729736328 y=0.224124908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428241729736328 × 217)
    floor (0.428241729736328 × 131072)
    floor (56130.5)     		tx = 56130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224124908447266 × 217)
    floor (0.224124908447266 × 131072)
    floor (29376.5)     		ty = 29376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56130 / 29376 ti = "17/56130/29376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56130/29376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56130 ÷ 217
    56130 ÷ 131072     		x = 0.428237915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29376 ÷ 217
    29376 ÷ 131072     		y = 0.22412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428237915039062 × 2 - 1) × π
    -0.143524169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45089448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22412109375 × 2 - 1) × π
    0.5517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73339829026123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45089448} λ = -0.45089448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73339829026123))-π/2
    2×atan(5.65985509479608)-π/2
    2×1.39591816908197-π/2
    2.79183633816394-1.57079632675     		φ = 1.22104001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45089448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.834351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22104001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.960439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56130 KachelY 29376 -0.45089448 1.22104001 -25.834351 69.960439
    Oben rechts KachelX + 1 56131 KachelY 29376 -0.45084654 1.22104001 -25.831604 69.960439
    Unten links KachelX 56130 KachelY + 1 29377 -0.45089448 1.22102358 -25.834351 69.959498
    Unten rechts KachelX + 1 56131 KachelY + 1 29377 -0.45084654 1.22102358 -25.831604 69.959498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22104001-1.22102358) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22104001-1.22102358) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45089448--0.45084654) × cos(1.22104001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34266888792337 × 6371000     		do = 104.659898668904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45089448--0.45084654) × cos(1.22102358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342684323143197 × 6371000     		du = 104.664612982341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22104001)-sin(1.22102358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34266888792337-0.342684323143197)×R²
    abs(-0.45084654--0.45089448)×1.54352198274421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54352198274421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54352198274421e-05×40589641000000     		ar = 10955.5770999758m²