Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56124 / 44508
↖ ↑ ↗
← N 49.901711°
W 25.850830°		 ← 196.72 m → N 49.901711°
W 25.848083°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 49.899942°
W 25.850830°		 ← 196.73 m →
38 691 m²		 N 49.899942°
W 25.848083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428195953369141 y=0.339572906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428195953369141 × 217)
    floor (0.428195953369141 × 131072)
    floor (56124.5)     		tx = 56124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339572906494141 × 217)
    floor (0.339572906494141 × 131072)
    floor (44508.5)     		ty = 44508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56124 / 44508 ti = "17/56124/44508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56124/44508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56124 ÷ 217
    56124 ÷ 131072     		x = 0.428192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44508 ÷ 217
    44508 ÷ 131072     		y = 0.339569091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.14361572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45118210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339569091796875 × 2 - 1) × π
    0.32086181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00801712521054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45118210} λ = -0.45118210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00801712521054))-π/2
    2×atan(2.74016222598317)-π/2
    2×1.22087274494846-π/2
    2.44174548989693-1.57079632675     		φ = 0.87094916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45118210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.850830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87094916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.901711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56124 KachelY 44508 -0.45118210 0.87094916 -25.850830 49.901711
    Oben rechts KachelX + 1 56125 KachelY 44508 -0.45113416 0.87094916 -25.848083 49.901711
    Unten links KachelX 56124 KachelY + 1 44509 -0.45118210 0.87091829 -25.850830 49.899942
    Unten rechts KachelX + 1 56125 KachelY + 1 44509 -0.45113416 0.87091829 -25.848083 49.899942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87094916-0.87091829) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87094916-0.87091829) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45118210--0.45113416) × cos(0.87094916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644100786431451 × 6371000     		do = 196.724959330279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45118210--0.45113416) × cos(0.87091829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644124399841986 × 6371000     		du = 196.732171473666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87094916)-sin(0.87091829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644100786431451-0.644124399841986)×R²
    abs(-0.45113416--0.45118210)×2.36134105356944e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36134105356944e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36134105356944e-05×40589641000000     		ar = 38691.1518987506m²