Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56123 / 16667
↖ ↑ ↗
← N 79.024327°
W 25.853577°		 ← 58.15 m → N 79.024327°
W 25.850830°		 →
↑
58.17 m
↓
↑
58.17 m
↓
N 79.023804°
W 25.853577°		 ← 58.15 m →
3 383 m²		 N 79.023804°
W 25.850830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428188323974609 y=0.127162933349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428188323974609 × 217)
    floor (0.428188323974609 × 131072)
    floor (56123.5)     		tx = 56123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127162933349609 × 217)
    floor (0.127162933349609 × 131072)
    floor (16667.5)     		ty = 16667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56123 / 16667 ti = "17/56123/16667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56123/16667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56123 ÷ 217
    56123 ÷ 131072     		x = 0.428184509277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16667 ÷ 217
    16667 ÷ 131072     		y = 0.127159118652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428184509277344 × 2 - 1) × π
    -0.143630981445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.45123004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127159118652344 × 2 - 1) × π
    0.745681762695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.34262834753252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45123004} λ = -0.45123004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34262834753252))-π/2
    2×atan(10.4085579495574)-π/2
    2×1.47501551403422-π/2
    2.95003102806843-1.57079632675     		φ = 1.37923470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45123004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.853577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37923470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.024327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56123 KachelY 16667 -0.45123004 1.37923470 -25.853577 79.024327
    Oben rechts KachelX + 1 56124 KachelY 16667 -0.45118210 1.37923470 -25.850830 79.024327
    Unten links KachelX 56123 KachelY + 1 16668 -0.45123004 1.37922557 -25.853577 79.023804
    Unten rechts KachelX + 1 56124 KachelY + 1 16668 -0.45118210 1.37922557 -25.850830 79.023804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37923470-1.37922557) × R
    9.13000000002384e-06 × 6371000     		dl = 58.1672300001519m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37923470-1.37922557) × R
    9.13000000002384e-06 × 6371000     		dr = 58.1672300001519m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45123004--0.45118210) × cos(1.37923470) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.190392188196474 × 6371000     		do = 58.1506749701565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45123004--0.45118210) × cos(1.37922557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.190401151183589 × 6371000     		du = 58.1534124971289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37923470)-sin(1.37922557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190392188196474-0.190401151183589)×R²
    abs(-0.45118210--0.45123004)×8.96298711561272e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.96298711561272e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.96298711561272e-06×40589641000000     		ar = 3382.54330273653m²