Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56121 / 18989
↖ ↑ ↗
← N 77.741368°
W 25.859070°		 ← 64.85 m → N 77.741368°
W 25.856323°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.740784°
W 25.859070°		 ← 64.85 m →
4 206 m²		 N 77.740784°
W 25.856323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428173065185547 y=0.144878387451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428173065185547 × 217)
    floor (0.428173065185547 × 131072)
    floor (56121.5)     		tx = 56121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144878387451172 × 217)
    floor (0.144878387451172 × 131072)
    floor (18989.5)     		ty = 18989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56121 / 18989 ti = "17/56121/18989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56121/18989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56121 ÷ 217
    56121 ÷ 131072     		x = 0.428169250488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18989 ÷ 217
    18989 ÷ 131072     		y = 0.144874572753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428169250488281 × 2 - 1) × π
    -0.143661499023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45132591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144874572753906 × 2 - 1) × π
    0.710250854492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.23131886661475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45132591} λ = -0.45132591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23131886661475))-π/2
    2×atan(9.31213945407046)-π/2
    2×1.46381957710197-π/2
    2.92763915420395-1.57079632675     		φ = 1.35684283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45132591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.859070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35684283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.741368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56121 KachelY 18989 -0.45132591 1.35684283 -25.859070 77.741368
    Oben rechts KachelX + 1 56122 KachelY 18989 -0.45127797 1.35684283 -25.856323 77.741368
    Unten links KachelX 56121 KachelY + 1 18990 -0.45132591 1.35683265 -25.859070 77.740784
    Unten rechts KachelX + 1 56122 KachelY + 1 18990 -0.45127797 1.35683265 -25.856323 77.740784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35684283-1.35683265) × R
    1.01799999998597e-05 × 6371000     		dl = 64.8567799991064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35684283-1.35683265) × R
    1.01799999998597e-05 × 6371000     		dr = 64.8567799991064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45132591--0.45127797) × cos(1.35684283) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.212324902733823 × 6371000     		do = 64.8494905379385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45132591--0.45127797) × cos(1.35683265) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.212334850609944 × 6371000     		du = 64.852528875364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35684283)-sin(1.35683265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212324902733823-0.212334850609944)×R²
    abs(-0.45127797--0.45132591)×9.94787612043635e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.94787612043635e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.94787612043635e-06×40589641000000     		ar = 4206.02766922976m²