Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56120 / 18993
↖ ↑ ↗
← N 77.739035°
W 25.861817°		 ← 64.86 m → N 77.739035°
W 25.859070°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.738451°
W 25.861817°		 ← 64.86 m →
4 207 m²		 N 77.738451°
W 25.859070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428165435791016 y=0.144908905029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428165435791016 × 217)
    floor (0.428165435791016 × 131072)
    floor (56120.5)     		tx = 56120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144908905029297 × 217)
    floor (0.144908905029297 × 131072)
    floor (18993.5)     		ty = 18993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56120 / 18993 ti = "17/56120/18993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56120/18993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56120 ÷ 217
    56120 ÷ 131072     		x = 0.42816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18993 ÷ 217
    18993 ÷ 131072     		y = 0.144905090332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42816162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1436767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45137385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144905090332031 × 2 - 1) × π
    0.710189819335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.23112711901627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45137385} λ = -0.45137385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23112711901627))-π/2
    2×atan(9.31035404487286)-π/2
    2×1.46379921879937-π/2
    2.92759843759875-1.57079632675     		φ = 1.35680211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45137385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.861817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35680211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.739035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56120 KachelY 18993 -0.45137385 1.35680211 -25.861817 77.739035
    Oben rechts KachelX + 1 56121 KachelY 18993 -0.45132591 1.35680211 -25.859070 77.739035
    Unten links KachelX 56120 KachelY + 1 18994 -0.45137385 1.35679193 -25.861817 77.738451
    Unten rechts KachelX + 1 56121 KachelY + 1 18994 -0.45132591 1.35679193 -25.859070 77.738451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35680211-1.35679193) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dl = 64.8567800005211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35680211-1.35679193) × R
    1.01800000000818e-05 × 6371000     		dr = 64.8567800005211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45137385--0.45132591) × cos(1.35680211) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.212364694106273 × 6371000     		do = 64.8616438473145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45137385--0.45132591) × cos(1.35679193) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.212374641894368 × 6371000     		du = 64.8646821578549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35680211)-sin(1.35679193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212364694106273-0.212374641894368)×R²
    abs(-0.45132591--0.45137385)×9.94778809537689e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.94778809537689e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.94778809537689e-06×40589641000000     		ar = 4206.81589292338m²