Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5612 / 3068
↖ ↑ ↗
← N 81.100015°
W118.344727°		 ← 189 m → N 81.100015°
W118.333740°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
N 81.098315°
W118.344727°		 ← 189.04 m →
35 730 m²		 N 81.098315°
W118.333740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.171279907226562 y=0.0936431884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.171279907226562 × 215)
    floor (0.171279907226562 × 32768)
    floor (5612.5)     		tx = 5612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0936431884765625 × 215)
    floor (0.0936431884765625 × 32768)
    floor (3068.5)     		ty = 3068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5612 / 3068 ti = "15/5612/3068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5612/3068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5612 ÷ 215
    5612 ÷ 32768     		x = 0.1712646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3068 ÷ 215
    3068 ÷ 32768     		y = 0.0936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1712646484375 × 2 - 1) × π
    -0.657470703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.06550513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0936279296875 × 2 - 1) × π
    0.812744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55331102136267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06550513} λ = -2.06550513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55331102136267))-π/2
    2×atan(12.8495786556835)-π/2
    2×1.4931293078418-π/2
    2.9862586156836-1.57079632675     		φ = 1.41546229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06550513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.344727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41546229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.100015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5612 KachelY 3068 -2.06550513 1.41546229 -118.344727 81.100015
    Oben rechts KachelX + 1 5613 KachelY 3068 -2.06531338 1.41546229 -118.333740 81.100015
    Unten links KachelX 5612 KachelY + 1 3069 -2.06550513 1.41543262 -118.344727 81.098315
    Unten rechts KachelX + 1 5613 KachelY + 1 3069 -2.06531338 1.41543262 -118.333740 81.098315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41546229-1.41543262) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41546229-1.41543262) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06550513--2.06531338) × cos(1.41546229) × R
    0.000191749999999935 × 0.154710122877156 × 6371000     		do = 188.999958478993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06550513--2.06531338) × cos(1.41543262) × R
    0.000191749999999935 × 0.154739435579497 × 6371000     		du = 189.035768026696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41546229)-sin(1.41543262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154710122877156-0.154739435579497)×R²
    abs(-2.06531338--2.06550513)×2.93127023406059e-05×R²
    0.000191749999999935×2.93127023406059e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.93127023406059e-05×40589641000000     		ar = 35729.5873795853m²