Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56119 / 14151
↖ ↑ ↗
← N 80.265008°
W 25.864563°		 ← 51.63 m → N 80.265008°
W 25.861817°		 →
↑
51.67 m
↓
↑
51.67 m
↓
N 80.264544°
W 25.864563°		 ← 51.64 m →
2 668 m²		 N 80.264544°
W 25.861817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428157806396484 y=0.107967376708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428157806396484 × 217)
    floor (0.428157806396484 × 131072)
    floor (56119.5)     		tx = 56119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107967376708984 × 217)
    floor (0.107967376708984 × 131072)
    floor (14151.5)     		ty = 14151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56119 / 14151 ti = "17/56119/14151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56119/14151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56119 ÷ 217
    56119 ÷ 131072     		x = 0.428153991699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14151 ÷ 217
    14151 ÷ 131072     		y = 0.107963562011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428153991699219 × 2 - 1) × π
    -0.143692016601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.45142178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107963562011719 × 2 - 1) × π
    0.784072875976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.46323758697659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45142178} λ = -0.45142178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46323758697659))-π/2
    2×atan(11.7427682963811)-π/2
    2×1.48584249828783-π/2
    2.97168499657566-1.57079632675     		φ = 1.40088867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45142178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.864563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40088867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.265008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56119 KachelY 14151 -0.45142178 1.40088867 -25.864563 80.265008
    Oben rechts KachelX + 1 56120 KachelY 14151 -0.45137385 1.40088867 -25.861817 80.265008
    Unten links KachelX 56119 KachelY + 1 14152 -0.45142178 1.40088056 -25.864563 80.264544
    Unten rechts KachelX + 1 56120 KachelY + 1 14152 -0.45137385 1.40088056 -25.861817 80.264544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40088867-1.40088056) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dl = 51.6688100000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40088867-1.40088056) × R
    8.11000000000561e-06 × 6371000     		dr = 51.6688100000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45142178--0.45137385) × cos(1.40088867) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.169091336289516 × 6371000     		do = 51.6340737047511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45142178--0.45137385) × cos(1.40088056) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.169099329503082 × 6371000     		du = 51.6365145286719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40088867)-sin(1.40088056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169091336289516-0.169099329503082)×R²
    abs(-0.45137385--0.45142178)×7.99321356595439e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.99321356595439e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.99321356595439e-06×40589641000000     		ar = 2667.93420106262m²