Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56118 / 44507
↖ ↑ ↗
← N 49.903480°
W 25.867310°		 ← 196.72 m → N 49.903480°
W 25.864563°		 →
↑
196.74 m
↓
↑
196.74 m
↓
N 49.901711°
W 25.867310°		 ← 196.72 m →
38 702 m²		 N 49.901711°
W 25.864563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428150177001953 y=0.339565277099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428150177001953 × 217)
    floor (0.428150177001953 × 131072)
    floor (56118.5)     		tx = 56118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339565277099609 × 217)
    floor (0.339565277099609 × 131072)
    floor (44507.5)     		ty = 44507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56118 / 44507 ti = "17/56118/44507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56118/44507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56118 ÷ 217
    56118 ÷ 131072     		x = 0.428146362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44507 ÷ 217
    44507 ÷ 131072     		y = 0.339561462402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428146362304688 × 2 - 1) × π
    -0.143707275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45146972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339561462402344 × 2 - 1) × π
    0.320877075195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.00806506211016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45146972} λ = -0.45146972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00806506211016))-π/2
    2×atan(2.74029358401316)-π/2
    2×1.22088818276273-π/2
    2.44177636552546-1.57079632675     		φ = 0.87098004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45146972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.867310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87098004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.903480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56118 KachelY 44507 -0.45146972 0.87098004 -25.867310 49.903480
    Oben rechts KachelX + 1 56119 KachelY 44507 -0.45142178 0.87098004 -25.864563 49.903480
    Unten links KachelX 56118 KachelY + 1 44508 -0.45146972 0.87094916 -25.867310 49.901711
    Unten rechts KachelX + 1 56119 KachelY + 1 44508 -0.45142178 0.87094916 -25.864563 49.901711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87098004-0.87094916) × R
    3.08799999999554e-05 × 6371000     		dl = 196.736479999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87098004-0.87094916) × R
    3.08799999999554e-05 × 6371000     		dr = 196.736479999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45146972--0.45142178) × cos(0.87098004) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644077164757509 × 6371000     		do = 196.717744663263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45146972--0.45142178) × cos(0.87094916) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644100786431451 × 6371000     		du = 196.724959330507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87098004)-sin(0.87094916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644077164757509-0.644100786431451)×R²
    abs(-0.45142178--0.45146972)×2.36216739413209e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36216739413209e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36216739413209e-05×40589641000000     		ar = 38702.2663357562m²