Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56115 / 44339
↖ ↑ ↗
← N 50.199759°
W 25.875549°		 ← 195.51 m → N 50.199759°
W 25.872802°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
N 50.198001°
W 25.875549°		 ← 195.51 m →
38 215 m²		 N 50.198001°
W 25.872802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428127288818359 y=0.338283538818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428127288818359 × 217)
    floor (0.428127288818359 × 131072)
    floor (56115.5)     		tx = 56115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338283538818359 × 217)
    floor (0.338283538818359 × 131072)
    floor (44339.5)     		ty = 44339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56115 / 44339 ti = "17/56115/44339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56115/44339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56115 ÷ 217
    56115 ÷ 131072     		x = 0.428123474121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44339 ÷ 217
    44339 ÷ 131072     		y = 0.338279724121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428123474121094 × 2 - 1) × π
    -0.143753051757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.45161353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338279724121094 × 2 - 1) × π
    0.323440551757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.01611846124633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45161353} λ = -0.45161353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01611846124633))-π/2
    2×atan(2.76245136496492)-π/2
    2×1.22347370416031-π/2
    2.44694740832063-1.57079632675     		φ = 0.87615108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45161353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.875549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87615108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.199759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56115 KachelY 44339 -0.45161353 0.87615108 -25.875549 50.199759
    Oben rechts KachelX + 1 56116 KachelY 44339 -0.45156559 0.87615108 -25.872802 50.199759
    Unten links KachelX 56115 KachelY + 1 44340 -0.45161353 0.87612040 -25.875549 50.198001
    Unten rechts KachelX + 1 56116 KachelY + 1 44340 -0.45156559 0.87612040 -25.872802 50.198001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87615108-0.87612040) × R
    3.06799999999496e-05 × 6371000     		dl = 195.462279999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87615108-0.87612040) × R
    3.06799999999496e-05 × 6371000     		dr = 195.462279999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45161353--0.45156559) × cos(0.87615108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.640112929728259 × 6371000     		do = 195.506965245693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45161353--0.45156559) × cos(0.87612040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.640136500282931 × 6371000     		du = 195.514164299796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87615108)-sin(0.87612040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640112929728259-0.640136500282931)×R²
    abs(-0.45156559--0.45161353)×2.35705546723919e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35705546723919e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35705546723919e-05×40589641000000     		ar = 38214.9407575433m²