Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56114 / 44498
↖ ↑ ↗
← N 49.919399°
W 25.878296°		 ← 196.65 m → N 49.919399°
W 25.875549°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 49.917630°
W 25.878296°		 ← 196.66 m →
38 677 m²		 N 49.917630°
W 25.875549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428119659423828 y=0.339496612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428119659423828 × 217)
    floor (0.428119659423828 × 131072)
    floor (56114.5)     		tx = 56114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339496612548828 × 217)
    floor (0.339496612548828 × 131072)
    floor (44498.5)     		ty = 44498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56114 / 44498 ti = "17/56114/44498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56114/44498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56114 ÷ 217
    56114 ÷ 131072     		x = 0.428115844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44498 ÷ 217
    44498 ÷ 131072     		y = 0.339492797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428115844726562 × 2 - 1) × π
    -0.143768310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45166147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339492797851562 × 2 - 1) × π
    0.321014404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00849649420674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45166147} λ = -0.45166147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00849649420674))-π/2
    2×atan(2.74147608968647)-π/2
    2×1.22102709761774-π/2
    2.44205419523547-1.57079632675     		φ = 0.87125787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45166147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.878296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87125787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.919399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56114 KachelY 44498 -0.45166147 0.87125787 -25.878296 49.919399
    Oben rechts KachelX + 1 56115 KachelY 44498 -0.45161353 0.87125787 -25.875549 49.919399
    Unten links KachelX 56114 KachelY + 1 44499 -0.45166147 0.87122700 -25.878296 49.917630
    Unten rechts KachelX + 1 56115 KachelY + 1 44499 -0.45161353 0.87122700 -25.875549 49.917630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87125787-0.87122700) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87125787-0.87122700) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45166147--0.45161353) × cos(0.87125787) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643864610919396 × 6371000     		do = 196.652825249967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45166147--0.45161353) × cos(0.87122700) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643888230467121 × 6371000     		du = 196.66003926781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87125787)-sin(0.87122700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643864610919396-0.643888230467121)×R²
    abs(-0.45161353--0.45166147)×2.36195477247847e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36195477247847e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36195477247847e-05×40589641000000     		ar = 38676.9652737272m²