Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56105 / 44465
↖ ↑ ↗
← N 49.977721°
W 25.903015°		 ← 196.41 m → N 49.977721°
W 25.900268°		 →
↑
196.42 m
↓
↑
196.42 m
↓
N 49.975955°
W 25.903015°		 ← 196.42 m →
38 580 m²		 N 49.975955°
W 25.900268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428050994873047 y=0.339244842529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428050994873047 × 217)
    floor (0.428050994873047 × 131072)
    floor (56105.5)     		tx = 56105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339244842529297 × 217)
    floor (0.339244842529297 × 131072)
    floor (44465.5)     		ty = 44465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56105 / 44465 ti = "17/56105/44465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56105/44465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56105 ÷ 217
    56105 ÷ 131072     		x = 0.428047180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44465 ÷ 217
    44465 ÷ 131072     		y = 0.339241027832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428047180175781 × 2 - 1) × π
    -0.143905639648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45209290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339241027832031 × 2 - 1) × π
    0.321517944335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.0100784118942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45209290} λ = -0.45209290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0100784118942))-π/2
    2×atan(2.74581631123401)-π/2
    2×1.22153605985595-π/2
    2.44307211971189-1.57079632675     		φ = 0.87227579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45209290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.903015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87227579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.977721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56105 KachelY 44465 -0.45209290 0.87227579 -25.903015 49.977721
    Oben rechts KachelX + 1 56106 KachelY 44465 -0.45204496 0.87227579 -25.900268 49.977721
    Unten links KachelX 56105 KachelY + 1 44466 -0.45209290 0.87224496 -25.903015 49.975955
    Unten rechts KachelX + 1 56106 KachelY + 1 44466 -0.45204496 0.87224496 -25.900268 49.975955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87227579-0.87224496) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dl = 196.417930000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87227579-0.87224496) × R
    3.08300000000372e-05 × 6371000     		dr = 196.417930000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45209290--0.45204496) × cos(0.87227579) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643085426741314 × 6371000     		do = 196.41484234578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45209290--0.45204496) × cos(0.87224496) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643109035878466 × 6371000     		du = 196.422053183966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87227579)-sin(0.87224496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643085426741314-0.643109035878466)×R²
    abs(-0.45204496--0.45209290)×2.36091371514924e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36091371514924e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36091371514924e-05×40589641000000     		ar = 38580.1049269101m²