Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56105 / 44248
↖ ↑ ↗
← N 50.359480°
W 25.903015°		 ← 194.85 m → N 50.359480°
W 25.900268°		 →
↑
194.83 m
↓
↑
194.83 m
↓
N 50.357728°
W 25.903015°		 ← 194.86 m →
37 963 m²		 N 50.357728°
W 25.900268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428050994873047 y=0.337589263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428050994873047 × 217)
    floor (0.428050994873047 × 131072)
    floor (56105.5)     		tx = 56105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337589263916016 × 217)
    floor (0.337589263916016 × 131072)
    floor (44248.5)     		ty = 44248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56105 / 44248 ti = "17/56105/44248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56105/44248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56105 ÷ 217
    56105 ÷ 131072     		x = 0.428047180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44248 ÷ 217
    44248 ÷ 131072     		y = 0.33758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428047180175781 × 2 - 1) × π
    -0.143905639648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45209290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33758544921875 × 2 - 1) × π
    0.3248291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02048071911176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45209290} λ = -0.45209290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02048071911176))-π/2
    2×atan(2.77452821216929)-π/2
    2×1.22486753420629-π/2
    2.44973506841257-1.57079632675     		φ = 0.87893874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45209290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.903015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87893874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.359480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56105 KachelY 44248 -0.45209290 0.87893874 -25.903015 50.359480
    Oben rechts KachelX + 1 56106 KachelY 44248 -0.45204496 0.87893874 -25.900268 50.359480
    Unten links KachelX 56105 KachelY + 1 44249 -0.45209290 0.87890816 -25.903015 50.357728
    Unten rechts KachelX + 1 56106 KachelY + 1 44249 -0.45204496 0.87890816 -25.900268 50.357728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87893874-0.87890816) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dl = 194.825180000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87893874-0.87890816) × R
    3.05800000000023e-05 × 6371000     		dr = 194.825180000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45209290--0.45204496) × cos(0.87893874) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637968739584697 × 6371000     		do = 194.852074384621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45209290--0.45204496) × cos(0.87890816) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63799228779037 × 6371000     		du = 194.859266612765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87893874)-sin(0.87890816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637968739584697-0.63799228779037)×R²
    abs(-0.45204496--0.45209290)×2.35482056735181e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35482056735181e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35482056735181e-05×40589641000000     		ar = 37962.7910819367m²