Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56104 / 43738
↖ ↑ ↗
← N 51.244725°
W 25.905762°		 ← 191.20 m → N 51.244725°
W 25.903015°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
N 51.243005°
W 25.905762°		 ← 191.20 m →
36 556 m²		 N 51.243005°
W 25.903015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428043365478516 y=0.333698272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428043365478516 × 217)
    floor (0.428043365478516 × 131072)
    floor (56104.5)     		tx = 56104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333698272705078 × 217)
    floor (0.333698272705078 × 131072)
    floor (43738.5)     		ty = 43738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56104 / 43738 ti = "17/56104/43738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56104/43738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56104 ÷ 217
    56104 ÷ 131072     		x = 0.42803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43738 ÷ 217
    43738 ÷ 131072     		y = 0.333694458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.1439208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45214084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333694458007812 × 2 - 1) × π
    0.332611083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04492853791798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45214084} λ = -0.45214084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04492853791798))-π/2
    2×atan(2.84319533573347)-π/2
    2×1.23259274759956-π/2
    2.46518549519911-1.57079632675     		φ = 0.89438917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45214084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.905762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89438917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.244725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56104 KachelY 43738 -0.45214084 0.89438917 -25.905762 51.244725
    Oben rechts KachelX + 1 56105 KachelY 43738 -0.45209290 0.89438917 -25.903015 51.244725
    Unten links KachelX 56104 KachelY + 1 43739 -0.45214084 0.89435916 -25.905762 51.243005
    Unten rechts KachelX + 1 56105 KachelY + 1 43739 -0.45209290 0.89435916 -25.903015 51.243005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89438917-0.89435916) × R
    3.00099999999137e-05 × 6371000     		dl = 191.19370999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89438917-0.89435916) × R
    3.00099999999137e-05 × 6371000     		dr = 191.19370999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45214084--0.45209290) × cos(0.89438917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.625995274779823 × 6371000     		do = 191.195070036006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45214084--0.45209290) × cos(0.89435916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.626018677101702 × 6371000     		du = 191.202217707483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89438917)-sin(0.89435916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625995274779823-0.626018677101702)×R²
    abs(-0.45209290--0.45214084)×2.34023218786961e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34023218786961e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34023218786961e-05×40589641000000     		ar = 36555.9780713221m²