Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56103 / 43736
↖ ↑ ↗
← N 51.248163°
W 25.908508°		 ← 191.14 m → N 51.248163°
W 25.905762°		 →
↑
191.13 m
↓
↑
191.13 m
↓
N 51.246444°
W 25.908508°		 ← 191.15 m →
36 533 m²		 N 51.246444°
W 25.905762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428035736083984 y=0.333683013916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428035736083984 × 217)
    floor (0.428035736083984 × 131072)
    floor (56103.5)     		tx = 56103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333683013916016 × 217)
    floor (0.333683013916016 × 131072)
    floor (43736.5)     		ty = 43736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56103 / 43736 ti = "17/56103/43736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56103/43736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56103 ÷ 217
    56103 ÷ 131072     		x = 0.428031921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43736 ÷ 217
    43736 ÷ 131072     		y = 0.33367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428031921386719 × 2 - 1) × π
    -0.143936157226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.45218877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33367919921875 × 2 - 1) × π
    0.3326416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04502441171722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45218877} λ = -0.45218877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04502441171722))-π/2
    2×atan(2.84346793673973)-π/2
    2×1.23262275475049-π/2
    2.46524550950098-1.57079632675     		φ = 0.89444918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45218877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.908508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89444918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.248163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56103 KachelY 43736 -0.45218877 0.89444918 -25.908508 51.248163
    Oben rechts KachelX + 1 56104 KachelY 43736 -0.45214084 0.89444918 -25.905762 51.248163
    Unten links KachelX 56103 KachelY + 1 43737 -0.45218877 0.89441918 -25.908508 51.246444
    Unten rechts KachelX + 1 56104 KachelY + 1 43737 -0.45214084 0.89441918 -25.905762 51.246444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89444918-0.89441918) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dl = 191.129999999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89444918-0.89441918) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dr = 191.129999999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45218877--0.45214084) × cos(0.89444918) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.625948476243417 × 6371000     		do = 191.140897381214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45218877--0.45214084) × cos(0.89441918) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.625971871894173 × 6371000     		du = 191.148041524622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89444918)-sin(0.89441918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625948476243417-0.625971871894173)×R²
    abs(-0.45214084--0.45218877)×2.33956507562638e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33956507562638e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33956507562638e-05×40589641000000     		ar = 36533.4424493225m²