Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56103 / 43735
↖ ↑ ↗
← N 51.249882°
W 25.908508°		 ← 191.13 m → N 51.249882°
W 25.905762°		 →
↑
191.19 m
↓
↑
191.19 m
↓
N 51.248163°
W 25.908508°		 ← 191.14 m →
36 544 m²		 N 51.248163°
W 25.905762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428035736083984 y=0.333675384521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428035736083984 × 217)
    floor (0.428035736083984 × 131072)
    floor (56103.5)     		tx = 56103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333675384521484 × 217)
    floor (0.333675384521484 × 131072)
    floor (43735.5)     		ty = 43735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56103 / 43735 ti = "17/56103/43735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56103/43735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56103 ÷ 217
    56103 ÷ 131072     		x = 0.428031921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43735 ÷ 217
    43735 ÷ 131072     		y = 0.333671569824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428031921386719 × 2 - 1) × π
    -0.143936157226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.45218877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333671569824219 × 2 - 1) × π
    0.332656860351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.04507234861684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45218877} λ = -0.45218877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04507234861684))-π/2
    2×atan(2.8436042470439)-π/2
    2×1.23263775748464-π/2
    2.46527551496928-1.57079632675     		φ = 0.89447919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45218877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.908508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89447919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.249882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56103 KachelY 43735 -0.45218877 0.89447919 -25.908508 51.249882
    Oben rechts KachelX + 1 56104 KachelY 43735 -0.45214084 0.89447919 -25.905762 51.249882
    Unten links KachelX 56103 KachelY + 1 43736 -0.45218877 0.89444918 -25.908508 51.248163
    Unten rechts KachelX + 1 56104 KachelY + 1 43736 -0.45214084 0.89444918 -25.905762 51.248163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89447919-0.89444918) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dl = 191.193710000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89447919-0.89444918) × R
    3.00100000000247e-05 × 6371000     		dr = 191.193710000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45218877--0.45214084) × cos(0.89447919) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.625925072230475 × 6371000     		do = 191.133750684312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45218877--0.45214084) × cos(0.89444918) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.625948476243417 × 6371000     		du = 191.140897381214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89447919)-sin(0.89444918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625925072230475-0.625948476243417)×R²
    abs(-0.45214084--0.45218877)×2.34040129418744e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34040129418744e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34040129418744e-05×40589641000000     		ar = 36544.2541040771m²