Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56103 / 16134
↖ ↑ ↗
← N 79.299580°
W 25.908508°		 ← 56.70 m → N 79.299580°
W 25.905762°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.299070°
W 25.908508°		 ← 56.70 m →
3 215 m²		 N 79.299070°
W 25.905762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428035736083984 y=0.123096466064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428035736083984 × 217)
    floor (0.428035736083984 × 131072)
    floor (56103.5)     		tx = 56103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123096466064453 × 217)
    floor (0.123096466064453 × 131072)
    floor (16134.5)     		ty = 16134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56103 / 16134 ti = "17/56103/16134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56103/16134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56103 ÷ 217
    56103 ÷ 131072     		x = 0.428031921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16134 ÷ 217
    16134 ÷ 131072     		y = 0.123092651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428031921386719 × 2 - 1) × π
    -0.143936157226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.45218877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123092651367188 × 2 - 1) × π
    0.753814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36817871503001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45218877} λ = -0.45218877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36817871503001))-π/2
    2×atan(10.6779270156071)-π/2
    2×1.47741754873353-π/2
    2.95483509746705-1.57079632675     		φ = 1.38403877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45218877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.908508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38403877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.299580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56103 KachelY 16134 -0.45218877 1.38403877 -25.908508 79.299580
    Oben rechts KachelX + 1 56104 KachelY 16134 -0.45214084 1.38403877 -25.905762 79.299580
    Unten links KachelX 56103 KachelY + 1 16135 -0.45218877 1.38402987 -25.908508 79.299070
    Unten rechts KachelX + 1 56104 KachelY + 1 16135 -0.45214084 1.38402987 -25.905762 79.299070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38403877-1.38402987) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38403877-1.38402987) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45218877--0.45214084) × cos(1.38403877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185673814818987 × 6371000     		do = 56.6977330110046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45218877--0.45214084) × cos(1.38402987) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185682560053415 × 6371000     		du = 56.7004034735425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38403877)-sin(1.38402987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185673814818987-0.185682560053415)×R²
    abs(-0.45214084--0.45218877)×8.74523442828679e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.74523442828679e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.74523442828679e-06×40589641000000     		ar = 3214.94489749673m²