Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56103 / 16133
↖ ↑ ↗
← N 79.300090°
W 25.908508°		 ← 56.70 m → N 79.300090°
W 25.905762°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.299580°
W 25.908508°		 ← 56.70 m →
3 215 m²		 N 79.299580°
W 25.905762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428035736083984 y=0.123088836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428035736083984 × 217)
    floor (0.428035736083984 × 131072)
    floor (56103.5)     		tx = 56103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123088836669922 × 217)
    floor (0.123088836669922 × 131072)
    floor (16133.5)     		ty = 16133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56103 / 16133 ti = "17/56103/16133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56103/16133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56103 ÷ 217
    56103 ÷ 131072     		x = 0.428031921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16133 ÷ 217
    16133 ÷ 131072     		y = 0.123085021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428031921386719 × 2 - 1) × π
    -0.143936157226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.45218877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123085021972656 × 2 - 1) × π
    0.753829956054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.36822665192963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45218877} λ = -0.45218877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36822665192963))-π/2
    2×atan(10.6784388945914)-π/2
    2×1.47742199894221-π/2
    2.95484399788442-1.57079632675     		φ = 1.38404767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45218877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.908508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38404767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.300090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56103 KachelY 16133 -0.45218877 1.38404767 -25.908508 79.300090
    Oben rechts KachelX + 1 56104 KachelY 16133 -0.45214084 1.38404767 -25.905762 79.300090
    Unten links KachelX 56103 KachelY + 1 16134 -0.45218877 1.38403877 -25.908508 79.299580
    Unten rechts KachelX + 1 56104 KachelY + 1 16134 -0.45214084 1.38403877 -25.905762 79.299580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38404767-1.38403877) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38404767-1.38403877) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45218877--0.45214084) × cos(1.38404767) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185665069569852 × 6371000     		do = 56.6950625439758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45218877--0.45214084) × cos(1.38403877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185673814818987 × 6371000     		du = 56.6977330110046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38404767)-sin(1.38403877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185665069569852-0.185673814818987)×R²
    abs(-0.45214084--0.45218877)×8.74524913527241e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.74524913527241e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.74524913527241e-06×40589641000000     		ar = 3214.79347711365m²