Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56102 / 43758
↖ ↑ ↗
← N 51.210325°
W 25.911255°		 ← 191.34 m → N 51.210325°
W 25.908508°		 →
↑
191.32 m
↓
↑
191.32 m
↓
N 51.208604°
W 25.911255°		 ← 191.35 m →
36 608 m²		 N 51.208604°
W 25.908508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428028106689453 y=0.333850860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428028106689453 × 217)
    floor (0.428028106689453 × 131072)
    floor (56102.5)     		tx = 56102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333850860595703 × 217)
    floor (0.333850860595703 × 131072)
    floor (43758.5)     		ty = 43758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56102 / 43758 ti = "17/56102/43758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56102/43758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56102 ÷ 217
    56102 ÷ 131072     		x = 0.428024291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43758 ÷ 217
    43758 ÷ 131072     		y = 0.333847045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428024291992188 × 2 - 1) × π
    -0.143951416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45223671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333847045898438 × 2 - 1) × π
    0.332305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04396979992558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45223671} λ = -0.45223671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04396979992558))-π/2
    2×atan(2.84047076262986)-π/2
    2×1.23229255268416-π/2
    2.46458510536833-1.57079632675     		φ = 0.89378878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45223671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.911255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89378878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.210325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56102 KachelY 43758 -0.45223671 0.89378878 -25.911255 51.210325
    Oben rechts KachelX + 1 56103 KachelY 43758 -0.45218877 0.89378878 -25.908508 51.210325
    Unten links KachelX 56102 KachelY + 1 43759 -0.45223671 0.89375875 -25.911255 51.208604
    Unten rechts KachelX + 1 56103 KachelY + 1 43759 -0.45218877 0.89375875 -25.908508 51.208604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89378878-0.89375875) × R
    3.00299999999032e-05 × 6371000     		dl = 191.321129999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89378878-0.89375875) × R
    3.00299999999032e-05 × 6371000     		dr = 191.321129999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45223671--0.45218877) × cos(0.89378878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.626463362168479 × 6371000     		do = 191.33803597307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45223671--0.45218877) × cos(0.89375875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.626486768795574 × 6371000     		du = 191.345184959471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89378878)-sin(0.89375875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626463362168479-0.626486768795574)×R²
    abs(-0.45218877--0.45223671)×2.34066270943245e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34066270943245e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34066270943245e-05×40589641000000     		ar = 36607.6931330206m²