Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56100 / 44459
↖ ↑ ↗
← N 49.988318°
W 25.916748°		 ← 196.33 m → N 49.988318°
W 25.914002°		 →
↑
196.35 m
↓
↑
196.35 m
↓
N 49.986552°
W 25.916748°		 ← 196.34 m →
38 551 m²		 N 49.986552°
W 25.914002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428012847900391 y=0.339199066162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428012847900391 × 217)
    floor (0.428012847900391 × 131072)
    floor (56100.5)     		tx = 56100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339199066162109 × 217)
    floor (0.339199066162109 × 131072)
    floor (44459.5)     		ty = 44459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56100 / 44459 ti = "17/56100/44459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56100/44459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56100 ÷ 217
    56100 ÷ 131072     		x = 0.428009033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44459 ÷ 217
    44459 ÷ 131072     		y = 0.339195251464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428009033203125 × 2 - 1) × π
    -0.14398193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45233258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339195251464844 × 2 - 1) × π
    0.321609497070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.01036603329192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45233258} λ = -0.45233258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01036603329192))-π/2
    2×atan(2.74660618034552)-π/2
    2×1.22162853223544-π/2
    2.44325706447088-1.57079632675     		φ = 0.87246074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45233258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.916748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87246074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.988318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56100 KachelY 44459 -0.45233258 0.87246074 -25.916748 49.988318
    Oben rechts KachelX + 1 56101 KachelY 44459 -0.45228465 0.87246074 -25.914002 49.988318
    Unten links KachelX 56100 KachelY + 1 44460 -0.45233258 0.87242992 -25.916748 49.986552
    Unten rechts KachelX + 1 56101 KachelY + 1 44460 -0.45228465 0.87242992 -25.914002 49.986552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87246074-0.87242992) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dl = 196.354219999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87246074-0.87242992) × R
    3.0819999999987e-05 × 6371000     		dr = 196.354219999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45233258--0.45228465) × cos(0.87246074) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.642943782060435 × 6371000     		do = 196.330618465745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45233258--0.45228465) × cos(0.87242992) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.642967387205193 × 6371000     		du = 196.337826580667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87246074)-sin(0.87242992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642943782060435-0.642967387205193)×R²
    abs(-0.45228465--0.45233258)×2.36051447579655e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36051447579655e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36051447579655e-05×40589641000000     		ar = 38551.0531259756m²