Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 561 / 1637
↖ ↑ ↗
← S 72.659588°
W 81.386719°		 ← 5 825.64 m → S 72.659588°
W 81.210938°		 →
↑
5 817.11 m
↓
↑
5 817.11 m
↓
S 72.711903°
W 81.386719°		 ← 5 808.60 m →
33 838 821 m²		 S 72.711903°
W 81.210938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274169921875 y=0.799560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274169921875 × 211)
    floor (0.274169921875 × 2048)
    floor (561.5)     		tx = 561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799560546875 × 211)
    floor (0.799560546875 × 2048)
    floor (1637.5)     		ty = 1637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 561 / 1637 ti = "11/561/1637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/561/1637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 561 ÷ 211
    561 ÷ 2048     		x = 0.27392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1637 ÷ 211
    1637 ÷ 2048     		y = 0.79931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27392578125 × 2 - 1) × π
    -0.4521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.42046621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79931640625 × 2 - 1) × π
    -0.5986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88066044589404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.42046621} λ = -1.42046621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88066044589404))-π/2
    2×atan(0.152489361519786)-π/2
    2×0.151323637443247-π/2
    0.302647274886493-1.57079632675     		φ = -1.26814905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.42046621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.386719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26814905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.659588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 561 KachelY 1637 -1.42046621 -1.26814905 -81.386719 -72.659588
    Oben rechts KachelX + 1 562 KachelY 1637 -1.41739825 -1.26814905 -81.210938 -72.659588
    Unten links KachelX 561 KachelY + 1 1638 -1.42046621 -1.26906211 -81.386719 -72.711903
    Unten rechts KachelX + 1 562 KachelY + 1 1638 -1.41739825 -1.26906211 -81.210938 -72.711903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26814905--1.26906211) × R
    0.000913059999999799 × 6371000     		dl = 5817.10525999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26814905--1.26906211) × R
    0.000913059999999799 × 6371000     		dr = 5817.10525999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.42046621--1.41739825) × cos(-1.26814905) × R
    0.00306796000000009 × 0.298048208313173 × 6371000     		do = 5825.64228007555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.42046621--1.41739825) × cos(-1.26906211) × R
    0.00306796000000009 × 0.29717652202554 × 6371000     		du = 5808.60432329353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26814905)-sin(-1.26906211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298048208313173-0.29717652202554)×R²
    abs(-1.41739825--1.42046621)×0.0008716862876334×R²
    0.00306796000000009×0.0008716862876334×6371000²
    0.00306796000000009×0.0008716862876334×40589641000000     		ar = 33838820.9071843m²