Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56095 / 29088
↖ ↑ ↗
← N 70.229744°
W 25.930481°		 ← 103.31 m → N 70.229744°
W 25.927734°		 →
↑
103.27 m
↓
↑
103.27 m
↓
N 70.228815°
W 25.930481°		 ← 103.31 m →
10 669 m²		 N 70.228815°
W 25.927734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427974700927734 y=0.221927642822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427974700927734 × 217)
    floor (0.427974700927734 × 131072)
    floor (56095.5)     		tx = 56095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221927642822266 × 217)
    floor (0.221927642822266 × 131072)
    floor (29088.5)     		ty = 29088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56095 / 29088 ti = "17/56095/29088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56095/29088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56095 ÷ 217
    56095 ÷ 131072     		x = 0.427970886230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29088 ÷ 217
    29088 ÷ 131072     		y = 0.221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427970886230469 × 2 - 1) × π
    -0.144058227539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.45257227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221923828125 × 2 - 1) × π
    0.55615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74720411735181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45257227} λ = -0.45257227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74720411735181))-π/2
    2×atan(5.73853595303869)-π/2
    2×1.39826830053056-π/2
    2.79653660106112-1.57079632675     		φ = 1.22574027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45257227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.930481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22574027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.229744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56095 KachelY 29088 -0.45257227 1.22574027 -25.930481 70.229744
    Oben rechts KachelX + 1 56096 KachelY 29088 -0.45252433 1.22574027 -25.927734 70.229744
    Unten links KachelX 56095 KachelY + 1 29089 -0.45257227 1.22572406 -25.930481 70.228815
    Unten rechts KachelX + 1 56096 KachelY + 1 29089 -0.45252433 1.22572406 -25.927734 70.228815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22574027-1.22572406) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dl = 103.273910000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22574027-1.22572406) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dr = 103.273910000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45257227--0.45252433) × cos(1.22574027) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.338249430390024 × 6371000     		do = 103.310082581503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45257227--0.45252433) × cos(1.22572406) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.338264684871334 × 6371000     		du = 103.314741692746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22574027)-sin(1.22572406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338249430390024-0.338264684871334)×R²
    abs(-0.45252433--0.45257227)×1.52544813095123e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.52544813095123e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.52544813095123e-05×40589641000000     		ar = 10669.4767531299m²