Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56094 / 13542
↖ ↑ ↗
← N 80.543811°
W 25.933228°		 ← 50.18 m → N 80.543811°
W 25.930481°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
N 80.543359°
W 25.933228°		 ← 50.18 m →
2 519 m²		 N 80.543359°
W 25.930481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427967071533203 y=0.103321075439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427967071533203 × 217)
    floor (0.427967071533203 × 131072)
    floor (56094.5)     		tx = 56094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103321075439453 × 217)
    floor (0.103321075439453 × 131072)
    floor (13542.5)     		ty = 13542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56094 / 13542 ti = "17/56094/13542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56094/13542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56094 ÷ 217
    56094 ÷ 131072     		x = 0.427963256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13542 ÷ 217
    13542 ÷ 131072     		y = 0.103317260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427963256835938 × 2 - 1) × π
    -0.144073486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45262021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103317260742188 × 2 - 1) × π
    0.793365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4924311588452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45262021} λ = -0.45262021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4924311588452))-π/2
    2×atan(12.0906346717598)-π/2
    2×1.48827550793375-π/2
    2.9765510158675-1.57079632675     		φ = 1.40575469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45262021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.933228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40575469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.543811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56094 KachelY 13542 -0.45262021 1.40575469 -25.933228 80.543811
    Oben rechts KachelX + 1 56095 KachelY 13542 -0.45257227 1.40575469 -25.930481 80.543811
    Unten links KachelX 56094 KachelY + 1 13543 -0.45262021 1.40574681 -25.933228 80.543359
    Unten rechts KachelX + 1 56095 KachelY + 1 13543 -0.45257227 1.40574681 -25.930481 80.543359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40575469-1.40574681) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dl = 50.2034800004534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40575469-1.40574681) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dr = 50.2034800004534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45262021--0.45257227) × cos(1.40575469) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.164293402146837 × 6371000     		do = 50.1794339278405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45262021--0.45257227) × cos(1.40574681) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.164301175064479 × 6371000     		du = 50.1818079769632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40575469)-sin(1.40574681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164293402146837-0.164301175064479)×R²
    abs(-0.45257227--0.45262021)×7.77291764167409e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.77291764167409e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.77291764167409e-06×40589641000000     		ar = 2519.24180036704m²