Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56093 / 13549
↖ ↑ ↗
← N 80.540651°
W 25.935974°		 ← 50.19 m → N 80.540651°
W 25.933228°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
N 80.540200°
W 25.935974°		 ← 50.19 m →
2 520 m²		 N 80.540200°
W 25.933228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427959442138672 y=0.103374481201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427959442138672 × 217)
    floor (0.427959442138672 × 131072)
    floor (56093.5)     		tx = 56093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103374481201172 × 217)
    floor (0.103374481201172 × 131072)
    floor (13549.5)     		ty = 13549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56093 / 13549 ti = "17/56093/13549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56093/13549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56093 ÷ 217
    56093 ÷ 131072     		x = 0.427955627441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13549 ÷ 217
    13549 ÷ 131072     		y = 0.103370666503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427955627441406 × 2 - 1) × π
    -0.144088745117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.45266814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103370666503906 × 2 - 1) × π
    0.793258666992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.49209560054786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45266814} λ = -0.45266814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49209560054786))-π/2
    2×atan(12.0865782395984)-π/2
    2×1.48824793836398-π/2
    2.97649587672795-1.57079632675     		φ = 1.40569955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45266814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.935974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40569955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.540651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56093 KachelY 13549 -0.45266814 1.40569955 -25.935974 80.540651
    Oben rechts KachelX + 1 56094 KachelY 13549 -0.45262021 1.40569955 -25.933228 80.540651
    Unten links KachelX 56093 KachelY + 1 13550 -0.45266814 1.40569167 -25.935974 80.540200
    Unten rechts KachelX + 1 56094 KachelY + 1 13550 -0.45262021 1.40569167 -25.933228 80.540200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40569955-1.40569167) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dl = 50.2034800004534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40569955-1.40569167) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dr = 50.2034800004534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45266814--0.45262021) × cos(1.40569955) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.164347792628017 × 6371000     		do = 50.1855755828828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45266814--0.45262021) × cos(1.40569167) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.164355565474259 × 6371000     		du = 50.1879491149902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40569955)-sin(1.40569167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164347792628017-0.164355565474259)×R²
    abs(-0.45262021--0.45266814)×7.77284624217667e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.77284624217667e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.77284624217667e-06×40589641000000     		ar = 2519.55011985155m²