Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56092 / 44468
↖ ↑ ↗
← N 49.972423°
W 25.938721°		 ← 196.44 m → N 49.972423°
W 25.935974°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
N 49.970656°
W 25.938721°		 ← 196.44 m →
38 597 m²		 N 49.970656°
W 25.935974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427951812744141 y=0.339267730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427951812744141 × 217)
    floor (0.427951812744141 × 131072)
    floor (56092.5)     		tx = 56092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339267730712891 × 217)
    floor (0.339267730712891 × 131072)
    floor (44468.5)     		ty = 44468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56092 / 44468 ti = "17/56092/44468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56092/44468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56092 ÷ 217
    56092 ÷ 131072     		x = 0.427947998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44468 ÷ 217
    44468 ÷ 131072     		y = 0.339263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.14410400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45271608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339263916015625 × 2 - 1) × π
    0.32147216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00993460119534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45271608} λ = -0.45271608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00993460119534))-π/2
    2×atan(2.74542146186381)-π/2
    2×1.22148981602749-π/2
    2.44297963205498-1.57079632675     		φ = 0.87218331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45271608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.938721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87218331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.972423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56092 KachelY 44468 -0.45271608 0.87218331 -25.938721 49.972423
    Oben rechts KachelX + 1 56093 KachelY 44468 -0.45266814 0.87218331 -25.935974 49.972423
    Unten links KachelX 56092 KachelY + 1 44469 -0.45271608 0.87215247 -25.938721 49.970656
    Unten rechts KachelX + 1 56093 KachelY + 1 44469 -0.45266814 0.87215247 -25.935974 49.970656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87218331-0.87215247) × R
    3.08400000000875e-05 × 6371000     		dl = 196.481640000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87218331-0.87215247) × R
    3.08400000000875e-05 × 6371000     		dr = 196.481640000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45271608--0.45266814) × cos(0.87218331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643156244661592 × 6371000     		do = 196.436471961487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45271608--0.45266814) × cos(0.87215247) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643179859622222 × 6371000     		du = 196.443684578312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87218331)-sin(0.87215247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643156244661592-0.643179859622222)×R²
    abs(-0.45266814--0.45271608)×2.36149606298586e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36149606298586e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36149606298586e-05×40589641000000     		ar = 38596.868743501m²