Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56091 / 16122
↖ ↑ ↗
← N 79.305698°
W 25.941467°		 ← 56.68 m → N 79.305698°
W 25.938721°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
N 79.305188°
W 25.941467°		 ← 56.68 m →
3 214 m²		 N 79.305188°
W 25.938721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427944183349609 y=0.123004913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427944183349609 × 217)
    floor (0.427944183349609 × 131072)
    floor (56091.5)     		tx = 56091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123004913330078 × 217)
    floor (0.123004913330078 × 131072)
    floor (16122.5)     		ty = 16122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56091 / 16122 ti = "17/56091/16122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56091/16122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56091 ÷ 217
    56091 ÷ 131072     		x = 0.427940368652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16122 ÷ 217
    16122 ÷ 131072     		y = 0.123001098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427940368652344 × 2 - 1) × π
    -0.144119262695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.45276402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123001098632812 × 2 - 1) × π
    0.753997802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36875395782545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45276402} λ = -0.45276402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36875395782545))-π/2
    2×atan(10.6840711832177)-π/2
    2×1.47747093740524-π/2
    2.95494187481048-1.57079632675     		φ = 1.38414555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45276402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.941467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38414555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.305698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56091 KachelY 16122 -0.45276402 1.38414555 -25.941467 79.305698
    Oben rechts KachelX + 1 56092 KachelY 16122 -0.45271608 1.38414555 -25.938721 79.305698
    Unten links KachelX 56091 KachelY + 1 16123 -0.45276402 1.38413665 -25.941467 79.305188
    Unten rechts KachelX + 1 56092 KachelY + 1 16123 -0.45271608 1.38413665 -25.938721 79.305188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38414555-1.38413665) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38414555-1.38413665) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45276402--0.45271608) × cos(1.38414555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185568890511509 × 6371000     		do = 56.6775157054194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45276402--0.45271608) × cos(1.38413665) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185577635922345 × 6371000     		du = 56.6801867789956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38414555)-sin(1.38413665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185568890511509-0.185577635922345)×R²
    abs(-0.45271608--0.45276402)×8.74541083598079e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74541083598079e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74541083598079e-06×40589641000000     		ar = 3213.79855514003m²