Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56090 / 44310
↖ ↑ ↗
← N 50.250717°
W 25.944214°		 ← 195.26 m → N 50.250717°
W 25.941467°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
N 50.248961°
W 25.944214°		 ← 195.26 m →
38 129 m²		 N 50.248961°
W 25.941467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427936553955078 y=0.338062286376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427936553955078 × 217)
    floor (0.427936553955078 × 131072)
    floor (56090.5)     		tx = 56090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338062286376953 × 217)
    floor (0.338062286376953 × 131072)
    floor (44310.5)     		ty = 44310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56090 / 44310 ti = "17/56090/44310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56090/44310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56090 ÷ 217
    56090 ÷ 131072     		x = 0.427932739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44310 ÷ 217
    44310 ÷ 131072     		y = 0.338058471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427932739257812 × 2 - 1) × π
    -0.144134521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45281195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338058471679688 × 2 - 1) × π
    0.323883056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01750863133531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45281195} λ = -0.45281195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01750863133531))-π/2
    2×atan(2.76629431278142)-π/2
    2×1.22391839950635-π/2
    2.44783679901271-1.57079632675     		φ = 0.87704047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45281195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.944214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87704047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.250717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56090 KachelY 44310 -0.45281195 0.87704047 -25.944214 50.250717
    Oben rechts KachelX + 1 56091 KachelY 44310 -0.45276402 0.87704047 -25.941467 50.250717
    Unten links KachelX 56090 KachelY + 1 44311 -0.45281195 0.87700982 -25.944214 50.248961
    Unten rechts KachelX + 1 56091 KachelY + 1 44311 -0.45276402 0.87700982 -25.941467 50.248961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87704047-0.87700982) × R
    3.06499999999099e-05 × 6371000     		dl = 195.271149999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87704047-0.87700982) × R
    3.06499999999099e-05 × 6371000     		dr = 195.271149999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45281195--0.45276402) × cos(0.87704047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639429375359641 × 6371000     		do = 195.257452101572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45281195--0.45276402) × cos(0.87700982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639452940306836 × 6371000     		du = 195.264647941684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87704047)-sin(0.87700982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639429375359641-0.639452940306836)×R²
    abs(-0.45276402--0.45281195)×2.35649471944654e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35649471944654e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35649471944654e-05×40589641000000     		ar = 38128.8497910034m²