Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56089 / 44487
↖ ↑ ↗
← N 49.938847°
W 25.946960°		 ← 196.57 m → N 49.938847°
W 25.944214°		 →
↑
196.55 m
↓
↑
196.55 m
↓
N 49.937080°
W 25.946960°		 ← 196.58 m →
38 636 m²		 N 49.937080°
W 25.944214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427928924560547 y=0.339412689208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427928924560547 × 217)
    floor (0.427928924560547 × 131072)
    floor (56089.5)     		tx = 56089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339412689208984 × 217)
    floor (0.339412689208984 × 131072)
    floor (44487.5)     		ty = 44487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56089 / 44487 ti = "17/56089/44487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56089/44487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56089 ÷ 217
    56089 ÷ 131072     		x = 0.427925109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44487 ÷ 217
    44487 ÷ 131072     		y = 0.339408874511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427925109863281 × 2 - 1) × π
    -0.144149780273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45285989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339408874511719 × 2 - 1) × π
    0.321182250976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.00902380010256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45285989} λ = -0.45285989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00902380010256))-π/2
    2×atan(2.74292206739459)-π/2
    2×1.22119682017687-π/2
    2.44239364035373-1.57079632675     		φ = 0.87159731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45285989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.946960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87159731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.938847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56089 KachelY 44487 -0.45285989 0.87159731 -25.946960 49.938847
    Oben rechts KachelX + 1 56090 KachelY 44487 -0.45281195 0.87159731 -25.944214 49.938847
    Unten links KachelX 56089 KachelY + 1 44488 -0.45285989 0.87156646 -25.946960 49.937080
    Unten rechts KachelX + 1 56090 KachelY + 1 44488 -0.45281195 0.87156646 -25.944214 49.937080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87159731-0.87156646) × R
    3.08499999999157e-05 × 6371000     		dl = 196.545349999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87159731-0.87156646) × R
    3.08499999999157e-05 × 6371000     		dr = 196.545349999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45285989--0.45281195) × cos(0.87159731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64360485489995 × 6371000     		do = 196.573489075281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45285989--0.45281195) × cos(0.87156646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64362846588642 × 6371000     		du = 196.580700478296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87159731)-sin(0.87156646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64360485489995-0.64362846588642)×R²
    abs(-0.45281195--0.45285989)×2.36109864693024e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36109864693024e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36109864693024e-05×40589641000000     		ar = 38636.313897862m²