Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56089 / 44305
↖ ↑ ↗
← N 50.259498°
W 25.946960°		 ← 195.26 m → N 50.259498°
W 25.944214°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
N 50.257742°
W 25.946960°		 ← 195.27 m →
38 130 m²		 N 50.257742°
W 25.944214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427928924560547 y=0.338024139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427928924560547 × 217)
    floor (0.427928924560547 × 131072)
    floor (56089.5)     		tx = 56089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338024139404297 × 217)
    floor (0.338024139404297 × 131072)
    floor (44305.5)     		ty = 44305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56089 / 44305 ti = "17/56089/44305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56089/44305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56089 ÷ 217
    56089 ÷ 131072     		x = 0.427925109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44305 ÷ 217
    44305 ÷ 131072     		y = 0.338020324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427925109863281 × 2 - 1) × π
    -0.144149780273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45285989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338020324707031 × 2 - 1) × π
    0.323959350585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.01774831583341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45285989} λ = -0.45285989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01774831583341))-π/2
    2×atan(2.76695743011167)-π/2
    2×1.22399502309993-π/2
    2.44799004619987-1.57079632675     		φ = 0.87719372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45285989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.946960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87719372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.259498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56089 KachelY 44305 -0.45285989 0.87719372 -25.946960 50.259498
    Oben rechts KachelX + 1 56090 KachelY 44305 -0.45281195 0.87719372 -25.944214 50.259498
    Unten links KachelX 56089 KachelY + 1 44306 -0.45285989 0.87716307 -25.946960 50.257742
    Unten rechts KachelX + 1 56090 KachelY + 1 44306 -0.45281195 0.87716307 -25.944214 50.257742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87719372-0.87716307) × R
    3.06499999999099e-05 × 6371000     		dl = 195.271149999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87719372-0.87716307) × R
    3.06499999999099e-05 × 6371000     		dr = 195.271149999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45285989--0.45281195) × cos(0.87719372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639311541613696 × 6371000     		do = 195.262200687776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45285989--0.45281195) × cos(0.87716307) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.639335109564141 × 6371000     		du = 195.269398946481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87719372)-sin(0.87716307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639311541613696-0.639335109564141)×R²
    abs(-0.45281195--0.45285989)×2.35679504446695e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35679504446695e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35679504446695e-05×40589641000000     		ar = 38129.7772888445m²