Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56088 / 44477
↖ ↑ ↗
← N 49.956521°
W 25.949707°		 ← 196.50 m → N 49.956521°
W 25.946960°		 →
↑
196.48 m
↓
↑
196.48 m
↓
N 49.954754°
W 25.949707°		 ← 196.51 m →
38 610 m²		 N 49.954754°
W 25.946960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427921295166016 y=0.339336395263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427921295166016 × 217)
    floor (0.427921295166016 × 131072)
    floor (56088.5)     		tx = 56088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339336395263672 × 217)
    floor (0.339336395263672 × 131072)
    floor (44477.5)     		ty = 44477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56088 / 44477 ti = "17/56088/44477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56088/44477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56088 ÷ 217
    56088 ÷ 131072     		x = 0.42791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44477 ÷ 217
    44477 ÷ 131072     		y = 0.339332580566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42791748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45290783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339332580566406 × 2 - 1) × π
    0.321334838867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.00950316909876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45290783} λ = -0.45290783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00950316909876))-π/2
    2×atan(2.74423725439745)-π/2
    2×1.22135105398532-π/2
    2.44270210797065-1.57079632675     		φ = 0.87190578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45290783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87190578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.956521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56088 KachelY 44477 -0.45290783 0.87190578 -25.949707 49.956521
    Oben rechts KachelX + 1 56089 KachelY 44477 -0.45285989 0.87190578 -25.946960 49.956521
    Unten links KachelX 56088 KachelY + 1 44478 -0.45290783 0.87187494 -25.949707 49.954754
    Unten rechts KachelX + 1 56089 KachelY + 1 44478 -0.45285989 0.87187494 -25.946960 49.954754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87190578-0.87187494) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dl = 196.48163999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87190578-0.87187494) × R
    3.08399999999764e-05 × 6371000     		dr = 196.48163999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45290783--0.45285989) × cos(0.87190578) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643368734316331 × 6371000     		do = 196.501371771527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45290783--0.45285989) × cos(0.87187494) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64339234377116 × 6371000     		du = 196.508582706739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87190578)-sin(0.87187494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643368734316331-0.64339234377116)×R²
    abs(-0.45285989--0.45290783)×2.36094548289323e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36094548289323e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36094548289323e-05×40589641000000     		ar = 38609.6201992199m²