Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56087 / 43751
↖ ↑ ↗
← N 51.222368°
W 25.952453°		 ← 191.25 m → N 51.222368°
W 25.949707°		 →
↑
191.32 m
↓
↑
191.32 m
↓
N 51.220647°
W 25.952453°		 ← 191.26 m →
36 590 m²		 N 51.220647°
W 25.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427913665771484 y=0.333797454833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427913665771484 × 217)
    floor (0.427913665771484 × 131072)
    floor (56087.5)     		tx = 56087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333797454833984 × 217)
    floor (0.333797454833984 × 131072)
    floor (43751.5)     		ty = 43751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56087 / 43751 ti = "17/56087/43751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56087/43751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56087 ÷ 217
    56087 ÷ 131072     		x = 0.427909851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43751 ÷ 217
    43751 ÷ 131072     		y = 0.333793640136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427909851074219 × 2 - 1) × π
    -0.144180297851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.45295576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333793640136719 × 2 - 1) × π
    0.332412719726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.04430535822292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45295576} λ = -0.45295576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04430535822292))-π/2
    2×atan(2.84142406609811)-π/2
    2×1.23239764642886-π/2
    2.46479529285771-1.57079632675     		φ = 0.89399897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45295576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.952453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89399897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.222368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56087 KachelY 43751 -0.45295576 0.89399897 -25.952453 51.222368
    Oben rechts KachelX + 1 56088 KachelY 43751 -0.45290783 0.89399897 -25.949707 51.222368
    Unten links KachelX 56087 KachelY + 1 43752 -0.45295576 0.89396894 -25.952453 51.220647
    Unten rechts KachelX + 1 56088 KachelY + 1 43752 -0.45290783 0.89396894 -25.949707 51.220647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89399897-0.89396894) × R
    3.00299999999032e-05 × 6371000     		dl = 191.321129999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89399897-0.89396894) × R
    3.00299999999032e-05 × 6371000     		dr = 191.321129999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45295576--0.45290783) × cos(0.89399897) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.626299515553185 × 6371000     		do = 191.248091457233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45295576--0.45290783) × cos(0.89396894) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.626322926134076 × 6371000     		du = 191.255240159737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89399897)-sin(0.89396894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626299515553185-0.626322926134076)×R²
    abs(-0.45290783--0.45295576)×2.34105808915031e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34105808915031e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34105808915031e-05×40589641000000     		ar = 36590.4848193653m²