Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56086 / 44490
↖ ↑ ↗
← N 49.933544°
W 25.955200°		 ← 196.60 m → N 49.933544°
W 25.952453°		 →
↑
196.61 m
↓
↑
196.61 m
↓
N 49.931776°
W 25.955200°		 ← 196.60 m →
38 653 m²		 N 49.931776°
W 25.952453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427906036376953 y=0.339435577392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427906036376953 × 217)
    floor (0.427906036376953 × 131072)
    floor (56086.5)     		tx = 56086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339435577392578 × 217)
    floor (0.339435577392578 × 131072)
    floor (44490.5)     		ty = 44490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56086 / 44490 ti = "17/56086/44490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56086/44490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56086 ÷ 217
    56086 ÷ 131072     		x = 0.427902221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44490 ÷ 217
    44490 ÷ 131072     		y = 0.339431762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427902221679688 × 2 - 1) × π
    -0.144195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45300370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339431762695312 × 2 - 1) × π
    0.321136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0088799894037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45300370} λ = -0.45300370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0088799894037))-π/2
    2×atan(2.7425276342177)-π/2
    2×1.22115053899818-π/2
    2.44230107799636-1.57079632675     		φ = 0.87150475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45300370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.955200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87150475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.933544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56086 KachelY 44490 -0.45300370 0.87150475 -25.955200 49.933544
    Oben rechts KachelX + 1 56087 KachelY 44490 -0.45295576 0.87150475 -25.952453 49.933544
    Unten links KachelX 56086 KachelY + 1 44491 -0.45300370 0.87147389 -25.955200 49.931776
    Unten rechts KachelX + 1 56087 KachelY + 1 44491 -0.45295576 0.87147389 -25.952453 49.931776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87150475-0.87147389) × R
    3.08600000000769e-05 × 6371000     		dl = 196.60906000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87150475-0.87147389) × R
    3.08600000000769e-05 × 6371000     		dr = 196.60906000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45300370--0.45295576) × cos(0.87150475) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643675693674653 × 6371000     		do = 196.595125060693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45300370--0.45295576) × cos(0.87147389) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.643699310475974 × 6371000     		du = 196.602338239713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87150475)-sin(0.87147389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643675693674653-0.643699310475974)×R²
    abs(-0.45295576--0.45300370)×2.36168013215687e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36168013215687e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36168013215687e-05×40589641000000     		ar = 38653.0918302035m²