Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56083 / 44491
↖ ↑ ↗
← N 49.931776°
W 25.963440°		 ← 196.56 m → N 49.931776°
W 25.960694°		 →
↑
196.55 m
↓
↑
196.55 m
↓
N 49.930008°
W 25.963440°		 ← 196.57 m →
38 634 m²		 N 49.930008°
W 25.960694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427883148193359 y=0.339443206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427883148193359 × 217)
    floor (0.427883148193359 × 131072)
    floor (56083.5)     		tx = 56083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339443206787109 × 217)
    floor (0.339443206787109 × 131072)
    floor (44491.5)     		ty = 44491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56083 / 44491 ti = "17/56083/44491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56083/44491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56083 ÷ 217
    56083 ÷ 131072     		x = 0.427879333496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44491 ÷ 217
    44491 ÷ 131072     		y = 0.339439392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427879333496094 × 2 - 1) × π
    -0.144241333007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.45314751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339439392089844 × 2 - 1) × π
    0.321121215820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.00883205250408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45314751} λ = -0.45314751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00883205250408))-π/2
    2×atan(2.74239616909683)-π/2
    2×1.22113511080665-π/2
    2.4422702216133-1.57079632675     		φ = 0.87147389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45314751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.963440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87147389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.931776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56083 KachelY 44491 -0.45314751 0.87147389 -25.963440 49.931776
    Oben rechts KachelX + 1 56084 KachelY 44491 -0.45309958 0.87147389 -25.960694 49.931776
    Unten links KachelX 56083 KachelY + 1 44492 -0.45314751 0.87144304 -25.963440 49.930008
    Unten rechts KachelX + 1 56084 KachelY + 1 44492 -0.45309958 0.87144304 -25.960694 49.930008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87147389-0.87144304) × R
    3.08500000000267e-05 × 6371000     		dl = 196.54535000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87147389-0.87144304) × R
    3.08500000000267e-05 × 6371000     		dr = 196.54535000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45314751--0.45309958) × cos(0.87147389) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.643699310475974 × 6371000     		do = 196.561328156436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45314751--0.45309958) × cos(0.87144304) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.643722919011689 × 6371000     		du = 196.568537306828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87147389)-sin(0.87144304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643699310475974-0.643722919011689)×R²
    abs(-0.45309958--0.45314751)×2.36085357147031e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36085357147031e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36085357147031e-05×40589641000000     		ar = 38633.9235045505m²