Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56082 / 44306
↖ ↑ ↗
← N 50.257742°
W 25.966187°		 ← 195.27 m → N 50.257742°
W 25.963440°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
N 50.255986°
W 25.966187°		 ← 195.28 m →
38 131 m²		 N 50.255986°
W 25.963440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427875518798828 y=0.338031768798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427875518798828 × 217)
    floor (0.427875518798828 × 131072)
    floor (56082.5)     		tx = 56082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338031768798828 × 217)
    floor (0.338031768798828 × 131072)
    floor (44306.5)     		ty = 44306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56082 / 44306 ti = "17/56082/44306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56082/44306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56082 ÷ 217
    56082 ÷ 131072     		x = 0.427871704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44306 ÷ 217
    44306 ÷ 131072     		y = 0.338027954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427871704101562 × 2 - 1) × π
    -0.144256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45319545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338027954101562 × 2 - 1) × π
    0.323944091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01770037893379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45319545} λ = -0.45319545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01770037893379))-π/2
    2×atan(2.7668247939302)-π/2
    2×1.22397969951091-π/2
    2.44795939902181-1.57079632675     		φ = 0.87716307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45319545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.966187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87716307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.257742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56082 KachelY 44306 -0.45319545 0.87716307 -25.966187 50.257742
    Oben rechts KachelX + 1 56083 KachelY 44306 -0.45314751 0.87716307 -25.963440 50.257742
    Unten links KachelX 56082 KachelY + 1 44307 -0.45319545 0.87713242 -25.966187 50.255986
    Unten rechts KachelX + 1 56083 KachelY + 1 44307 -0.45314751 0.87713242 -25.963440 50.255986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87716307-0.87713242) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87716307-0.87713242) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45319545--0.45314751) × cos(0.87716307) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.639335109564141 × 6371000     		do = 195.269398946707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45319545--0.45314751) × cos(0.87713242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63935867691398 × 6371000     		du = 195.276597021971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87716307)-sin(0.87713242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639335109564141-0.63935867691398)×R²
    abs(-0.45314751--0.45319545)×2.35673498391042e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35673498391042e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35673498391042e-05×40589641000000     		ar = 38131.1828833066m²