Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56082 / 44266
↖ ↑ ↗
← N 50.327930°
W 25.966187°		 ← 194.98 m → N 50.327930°
W 25.963440°		 →
↑
194.95 m
↓
↑
194.95 m
↓
N 50.326177°
W 25.966187°		 ← 194.99 m →
38 013 m²		 N 50.326177°
W 25.963440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427875518798828 y=0.337726593017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427875518798828 × 217)
    floor (0.427875518798828 × 131072)
    floor (56082.5)     		tx = 56082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337726593017578 × 217)
    floor (0.337726593017578 × 131072)
    floor (44266.5)     		ty = 44266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56082 / 44266 ti = "17/56082/44266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56082/44266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56082 ÷ 217
    56082 ÷ 131072     		x = 0.427871704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44266 ÷ 217
    44266 ÷ 131072     		y = 0.337722778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427871704101562 × 2 - 1) × π
    -0.144256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45319545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337722778320312 × 2 - 1) × π
    0.324554443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01961785491859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45319545} λ = -0.45319545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01961785491859))-π/2
    2×atan(2.77213520369124)-π/2
    2×1.22459220256668-π/2
    2.44918440513335-1.57079632675     		φ = 0.87838808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45319545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.966187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87838808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.327930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56082 KachelY 44266 -0.45319545 0.87838808 -25.966187 50.327930
    Oben rechts KachelX + 1 56083 KachelY 44266 -0.45314751 0.87838808 -25.963440 50.327930
    Unten links KachelX 56082 KachelY + 1 44267 -0.45319545 0.87835748 -25.966187 50.326177
    Unten rechts KachelX + 1 56083 KachelY + 1 44267 -0.45314751 0.87835748 -25.963440 50.326177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87838808-0.87835748) × R
    3.05999999999917e-05 × 6371000     		dl = 194.952599999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87838808-0.87835748) × R
    3.05999999999917e-05 × 6371000     		dr = 194.952599999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45319545--0.45314751) × cos(0.87838808) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638392685323953 × 6371000     		do = 194.981558325753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45319545--0.45314751) × cos(0.87835748) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.638416238176812 × 6371000     		du = 194.988751973267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87838808)-sin(0.87835748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638392685323953-0.638416238176812)×R²
    abs(-0.45314751--0.45319545)×2.35528528595985e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35528528595985e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35528528595985e-05×40589641000000     		ar = 38012.8629607597m²