Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56082 / 29602
↖ ↑ ↗
← N 69.746650°
W 25.966187°		 ← 105.73 m → N 69.746650°
W 25.963440°		 →
↑
105.76 m
↓
↑
105.76 m
↓
N 69.745699°
W 25.966187°		 ← 105.73 m →
11 182 m²		 N 69.745699°
W 25.963440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427875518798828 y=0.225849151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427875518798828 × 217)
    floor (0.427875518798828 × 131072)
    floor (56082.5)     		tx = 56082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225849151611328 × 217)
    floor (0.225849151611328 × 131072)
    floor (29602.5)     		ty = 29602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56082 / 29602 ti = "17/56082/29602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56082/29602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56082 ÷ 217
    56082 ÷ 131072     		x = 0.427871704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29602 ÷ 217
    29602 ÷ 131072     		y = 0.225845336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427871704101562 × 2 - 1) × π
    -0.144256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45319545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225845336914062 × 2 - 1) × π
    0.548309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7225645509471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45319545} λ = -0.45319545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7225645509471))-π/2
    2×atan(5.59886865225001)-π/2
    2×1.39405250257616-π/2
    2.78810500515232-1.57079632675     		φ = 1.21730868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45319545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.966187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21730868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.746650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56082 KachelY 29602 -0.45319545 1.21730868 -25.966187 69.746650
    Oben rechts KachelX + 1 56083 KachelY 29602 -0.45314751 1.21730868 -25.963440 69.746650
    Unten links KachelX 56082 KachelY + 1 29603 -0.45319545 1.21729208 -25.966187 69.745699
    Unten rechts KachelX + 1 56083 KachelY + 1 29603 -0.45314751 1.21729208 -25.963440 69.745699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21730868-1.21729208) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dl = 105.758599999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21730868-1.21729208) × R
    1.65999999999222e-05 × 6371000     		dr = 105.758599999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45319545--0.45314751) × cos(1.21730868) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.34617191559734 × 6371000     		do = 105.729813488588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45319545--0.45314751) × cos(1.21729208) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346187489189832 × 6371000     		du = 105.7345700646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21730868)-sin(1.21729208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34617191559734-0.346187489189832)×R²
    abs(-0.45314751--0.45319545)×1.5573592492657e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5573592492657e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5573592492657e-05×40589641000000     		ar = 11182.0885774533m²