Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56081 / 29603
↖ ↑ ↗
← N 69.745699°
W 25.968933°		 ← 105.73 m → N 69.745699°
W 25.966187°		 →
↑
105.69 m
↓
↑
105.69 m
↓
N 69.744748°
W 25.968933°		 ← 105.74 m →
11 176 m²		 N 69.744748°
W 25.966187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427867889404297 y=0.225856781005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427867889404297 × 217)
    floor (0.427867889404297 × 131072)
    floor (56081.5)     		tx = 56081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225856781005859 × 217)
    floor (0.225856781005859 × 131072)
    floor (29603.5)     		ty = 29603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56081 / 29603 ti = "17/56081/29603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56081/29603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56081 ÷ 217
    56081 ÷ 131072     		x = 0.427864074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29603 ÷ 217
    29603 ÷ 131072     		y = 0.225852966308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427864074707031 × 2 - 1) × π
    -0.144271850585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.45324339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225852966308594 × 2 - 1) × π
    0.548294067382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.72251661404748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45324339} λ = -0.45324339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72251661404748))-π/2
    2×atan(5.59860026627829)-π/2
    2×1.39404420518536-π/2
    2.78808841037072-1.57079632675     		φ = 1.21729208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45324339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.968933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21729208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.745699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56081 KachelY 29603 -0.45324339 1.21729208 -25.968933 69.745699
    Oben rechts KachelX + 1 56082 KachelY 29603 -0.45319545 1.21729208 -25.966187 69.745699
    Unten links KachelX 56081 KachelY + 1 29604 -0.45324339 1.21727549 -25.968933 69.744748
    Unten rechts KachelX + 1 56082 KachelY + 1 29604 -0.45319545 1.21727549 -25.966187 69.744748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21729208-1.21727549) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dl = 105.694889999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21729208-1.21727549) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dr = 105.694889999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45324339--0.45319545) × cos(1.21729208) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346187489189832 × 6371000     		do = 105.7345700646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45324339--0.45319545) × cos(1.21727549) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346203053305334 × 6371000     		du = 105.739323746094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21729208)-sin(1.21727549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346187489189832-0.346203053305334)×R²
    abs(-0.45319545--0.45324339)×1.55641155012431e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55641155012431e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55641155012431e-05×40589641000000     		ar = 11175.8549722193m²