Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56080 / 44401
↖ ↑ ↗
← N 50.090631°
W 25.971680°		 ← 195.91 m → N 50.090631°
W 25.968933°		 →
↑
195.97 m
↓
↑
195.97 m
↓
N 50.088869°
W 25.971680°		 ← 195.92 m →
38 394 m²		 N 50.088869°
W 25.968933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427860260009766 y=0.338756561279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427860260009766 × 217)
    floor (0.427860260009766 × 131072)
    floor (56080.5)     		tx = 56080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338756561279297 × 217)
    floor (0.338756561279297 × 131072)
    floor (44401.5)     		ty = 44401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56080 / 44401 ti = "17/56080/44401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56080/44401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56080 ÷ 217
    56080 ÷ 131072     		x = 0.4278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44401 ÷ 217
    44401 ÷ 131072     		y = 0.338752746582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45329132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338752746582031 × 2 - 1) × π
    0.322494506835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.01314637346989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45329132} λ = -0.45329132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01314637346989))-π/2
    2×atan(2.75425330574056)-π/2
    2×1.22252138197832-π/2
    2.44504276395664-1.57079632675     		φ = 0.87424644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45329132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87424644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.090631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56080 KachelY 44401 -0.45329132 0.87424644 -25.971680 50.090631
    Oben rechts KachelX + 1 56081 KachelY 44401 -0.45324339 0.87424644 -25.968933 50.090631
    Unten links KachelX 56080 KachelY + 1 44402 -0.45329132 0.87421568 -25.971680 50.088869
    Unten rechts KachelX + 1 56081 KachelY + 1 44402 -0.45324339 0.87421568 -25.968933 50.088869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87424644-0.87421568) × R
    3.07599999999075e-05 × 6371000     		dl = 195.971959999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87424644-0.87421568) × R
    3.07599999999075e-05 × 6371000     		dr = 195.971959999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45329132--0.45324339) × cos(0.87424644) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.641575066194249 × 6371000     		do = 195.912664610353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45329132--0.45324339) × cos(0.87421568) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.64159866066416 × 6371000     		du = 195.919869465582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87424644)-sin(0.87421568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641575066194249-0.64159866066416)×R²
    abs(-0.45324339--0.45329132)×2.35944699107371e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35944699107371e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35944699107371e-05×40589641000000     		ar = 38394.0948501836m²