Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56080 / 29552
↖ ↑ ↗
← N 69.794136°
W 25.971680°		 ← 105.47 m → N 69.794136°
W 25.968933°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
N 69.793187°
W 25.971680°		 ← 105.48 m →
11 128 m²		 N 69.793187°
W 25.968933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427860260009766 y=0.225467681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427860260009766 × 217)
    floor (0.427860260009766 × 131072)
    floor (56080.5)     		tx = 56080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225467681884766 × 217)
    floor (0.225467681884766 × 131072)
    floor (29552.5)     		ty = 29552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56080 / 29552 ti = "17/56080/29552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56080/29552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56080 ÷ 217
    56080 ÷ 131072     		x = 0.4278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29552 ÷ 217
    29552 ÷ 131072     		y = 0.2254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45329132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2254638671875 × 2 - 1) × π
    0.549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7249613959281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45329132} λ = -0.45329132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7249613959281))-π/2
    2×atan(5.61230436770983)-π/2
    2×1.39446689665135-π/2
    2.78893379330269-1.57079632675     		φ = 1.21813747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45329132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21813747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.794136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56080 KachelY 29552 -0.45329132 1.21813747 -25.971680 69.794136
    Oben rechts KachelX + 1 56081 KachelY 29552 -0.45324339 1.21813747 -25.968933 69.794136
    Unten links KachelX 56080 KachelY + 1 29553 -0.45329132 1.21812091 -25.971680 69.793187
    Unten rechts KachelX + 1 56081 KachelY + 1 29553 -0.45324339 1.21812091 -25.968933 69.793187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21813747-1.21812091) × R
    1.65600000001653e-05 × 6371000     		dl = 105.503760001053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21813747-1.21812091) × R
    1.65600000001653e-05 × 6371000     		dr = 105.503760001053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45329132--0.45324339) × cos(1.21813747) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.345394249972427 × 6371000     		do = 105.47028932185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45329132--0.45324339) × cos(1.21812091) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.345409790784204 × 6371000     		du = 105.475034895682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21813747)-sin(1.21812091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345394249972427-0.345409790784204)×R²
    abs(-0.45324339--0.45329132)×1.55408117762379e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.55408117762379e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.55408117762379e-05×40589641000000     		ar = 11127.7624300942m²