Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56078 / 44489
↖ ↑ ↗
← N 49.935312°
W 25.977173°		 ← 196.59 m → N 49.935312°
W 25.974426°		 →
↑
196.61 m
↓
↑
196.61 m
↓
N 49.933544°
W 25.977173°		 ← 196.60 m →
38 652 m²		 N 49.933544°
W 25.974426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427845001220703 y=0.339427947998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427845001220703 × 217)
    floor (0.427845001220703 × 131072)
    floor (56078.5)     		tx = 56078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339427947998047 × 217)
    floor (0.339427947998047 × 131072)
    floor (44489.5)     		ty = 44489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56078 / 44489 ti = "17/56078/44489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56078/44489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56078 ÷ 217
    56078 ÷ 131072     		x = 0.427841186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44489 ÷ 217
    44489 ÷ 131072     		y = 0.339424133300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427841186523438 × 2 - 1) × π
    -0.144317626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45338720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339424133300781 × 2 - 1) × π
    0.321151733398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.00892792630332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45338720} λ = -0.45338720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00892792630332))-π/2
    2×atan(2.74265910564075)-π/2
    2×1.22116596662372-π/2
    2.44233193324744-1.57079632675     		φ = 0.87153561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45338720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.977173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87153561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.935312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56078 KachelY 44489 -0.45338720 0.87153561 -25.977173 49.935312
    Oben rechts KachelX + 1 56079 KachelY 44489 -0.45333926 0.87153561 -25.974426 49.935312
    Unten links KachelX 56078 KachelY + 1 44490 -0.45338720 0.87150475 -25.977173 49.933544
    Unten rechts KachelX + 1 56079 KachelY + 1 44490 -0.45333926 0.87150475 -25.974426 49.933544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87153561-0.87150475) × R
    3.08599999999659e-05 × 6371000     		dl = 196.609059999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87153561-0.87150475) × R
    3.08599999999659e-05 × 6371000     		dr = 196.609059999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45338720--0.45333926) × cos(0.87153561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643652076260333 × 6371000     		do = 196.58791169422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45338720--0.45333926) × cos(0.87150475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643675693674653 × 6371000     		du = 196.595125060465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87153561)-sin(0.87150475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643652076260333-0.643675693674653)×R²
    abs(-0.45333926--0.45338720)×2.36174143193324e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36174143193324e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36174143193324e-05×40589641000000     		ar = 38651.6736350861m²